Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số  3 2 1 1 y x x    .

1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 biết tiếp tuyến này vuông góc với

đường thẳng d có phương trình 5 1 0 x y   .

2. Tìm m để đường thẳng  có phương trình   1 1 y m x    cắt đồ thị hàm số  1 tại ba

điểm phân biệt   0;1 , , A B C , biết hai điểm , B C có hoành độ lần lượt là 1 2 ; x x thỏa mãn:

    3 3 1 1 2 2 2 2 2 1

2 2 1 1 1 x m x x m x x x         .

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:    2 2 sin cos 1 2sin 2 1 tan sin3 sin5 x x x x x x     .

2. Giải hệ phương trình:  

 

  2 2

2 2 2 2

log log 2 .2

, . 2log 6log 1 log 3 3 0

x x x x y

x y x y x x y

     

      

Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng:

2 3 2014 0 1 2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 1 2 1 2 1 .2. .2 . ... .2 . 2 3 2014 S C C C C         .

Câu 4. (4,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm   1;1 A ,   3;2 B ,   7;10 C . Lập phương trình

đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng  lớn nhất.

2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu    

2 2 2 1 : 1 4 S x y z    

       2 2 2 2 : 3 1 1 25 S x y z       . Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao

tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Câu 5. (3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi , M N là hai điểm thay đổi

lần lượt thuộc các cạnh , AB CD sao cho mặt phẳng   SMN luôn vuông góc với mặt phẳng

( ) ABC . Đặt , AM x AN y   . Chứng minh rằng 3 x y xy   , từ đó tìm ,x y để tam giác

SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất. Câu 6. (1,0 điểm)

Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 3 3 3 a b c a b c      . Chứng minh rằng

1 1 1 1 8 1 8 1 8 1 a b c      

.

------------------------Hết------------------------

(Đề thi gồm có 01 trang)

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

================

ĐỀCHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

==============

Lời giải sơ lược Thang

điểm

Câu

1.1

Cho hàm số  3 2 1 1 y x x    .

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 biết tiếp tuyến này vuông góc

với đường thẳng d có phương trình 5 1 0 x y   .

3.0

TXĐ: , 2 ' 3 2 y x x  

Hệ số góc của d là 1 5   Hệ số góc của tiếp tuyến là 5 k 

1.0

Gọi   0 0 ; M x y là tiếp điểm

Khi đó

  0 0 2 0 0

0 0

1 3 3 2 5 5 23 3 27

x y x x

x y

                 

1.0

Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến: 5 2 y x  ; 202 5 27 y x  

1.0

1.2

Tìm m để đường thẳng  có phương trình   1 1 y m x    cắt đồ thị hàm số  1

tại ba điểm phân biệt   0;1 , , A B C , biết điểm , B C có hoành độ lần lượt là 1 2 ; x x

thỏa mãn:     

1

3 3 1 1 2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 1 x m x x m x x x         .

2.0

Phương trình hoành độ giao điểm:

      

3 2 2

2

0 1 1 1 1 0 1 0 *

x x x m x x x x m x x m

                   

0.5

 cắt đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt , , A B C  phương trình (*) có

hai nghiệm phân biệt khác 0

5 4 5 0 (**) 4 1 0 1

m m m m

               

0.5

DeThi.edu.vn