Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Bạc Liêu (Có đáp án)

1

Họ và tên thí sinh:……………………..………….. Chữ ký giám thị 1:

Số báo danh:……………………………..………... …………….………………..

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình: 2 2 4 2 5 2 5 x x x x x − + − + − = − Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số không âm (ai), với i = 0, 1, 2, … thỏa điều kiện

am + n + am – n = 1 2 (a2m + a2n) với mỗi cặp chỉ số m, n tùy ý mà m ≥ n.

Tính a2010 biết a1 = 1. Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình : tan 2 x + tan 2 y + cot 2( ) x y + = 1 Câu 4: (4 điểm) Cho ,a b∈Z và 3 ) 5 4 2 ( 2 2 M + + + + b a b a .Chứng minh rằng a và b không chia hết cho 3. Câu 5: (4 điểm) Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 4.

--- HẾT ---

(Gồm 01 trang)

CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) 2 2 4 2 5 2 5 x x x x x − + − + − = − (1)

ĐK: 5 4 2 x ≤ ≤ (0,25đ)

(1) ⇔ 2 2 1 4 1 2 5 1 2 5 x x x x x − −+ − −+ − −= − -3 (0,5đ)

( )( ) 3 3 2 6 2 1 3 1 1 4 1 2 5 1 x x x x x x x x − − − ⇔ − + = + − −+ − + − + (0,5đ)

( ) ( )( ) 1 1 2 3 [ ] 2 1 3 1 1 4 1 2 5 1 x x x x x x ⇔ − − + = + − −+ − + − + (0,5đ)

3 1 1 2 2 1 1 1 4 1 2 5 1

x

x x x x

= ⎡ ⎢ ⇔⎢ − + = + ⎢ −+ − + − + ⎣

(2) (0,75đ)

(2) 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 4 1

x x x x ⇔ + = + + − + − + − + (3) (0,5đ)

Do 5 4 2 x ≤ ≤ nên 5 (3) 2 1 2. 1 6 2 VP x > + > + = và VT (3) < 3 (0,5đ)

Vậy PT (1) có duy nhất nghiệm x = 3 (0,5đ) Câu 2: (4 điểm) Cho m = n = 1, ta được a0 = 0; (0,5đ)

Cho m = 1, n = 0, ta có a1 + a1 = 1 2 (a2 + a0) ⇒a2 = 4. (0,5đ)

Ta sẽ chứng minh an = n2 bằng qui nạp (0,5đ) Với n = 0, 1, 2 khẳng định trên đúng (0,5đ) Giả sử an = n2 đúng với n = 0, 1, 2, …k;

Cho m = k, n = 0, ta được ak + ak = 1 2 (a2k + a0)

⇒a2k = 4ak = (2k)2 (0,5đ)

Cho m = k, n = 1, ta được ak + 1 + ak – 1 = 1 2 (a2k + a2)

⇒ak + 1 = 1 2 a2k + 2 – ak – 1 (0,5đ)

⇔ak + 1 = 1 2 (2k)2 + 2 – (k – 1)2

⇔ak + 1 = (k + 1)2. (0,5đ) Theo giả thiết qui nạp ta có an = n2 với n = 0, 1, 2, … (0,25đ) Vậy a2010 = 20102. (0,25đ)

(Gồm 03 trang)

CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

2

Câu 3: (4 điểm) tan 2 x + tan 2 y + cot 2( ) x y + = 1 (1)

Ta có: cot ( x + y ) = 1 tan( ) x y + = 1 tan x.tan tan x tan y y −

+ .

⇒cot (x + y ) .[ ] tan x tan y + = 1- tanx.tany . (0,25đ) ⇒tanx.tany + tany . cot ( x + y ) + tanx . cot ( x + y ) = 1 ( 2 ). ( 1 ) – ( 2 ) vế theo vế ta được :

2 2 2 1 (t anx tan ) (tan cot( )) (cot( ) tan ) 0 2 y y x y x y x ⎡ ⎤ − + − + + + − = ⎣ ⎦ (0,75đ)

2 2 2 t anx tan cot( )

tan tan cot ( ) 1.

y x y

x y x y

= = + ⎧ ⇔⎨ + + + = ⎩ (0,25đ)

1 t anx tan cot( ) 3

y x y

y x y

⎡ = = + = ⎢ ⎢ ⇔ − ⎢ = = + = ⎢⎣

(0,75đ)

Xét hệ ( I )

1 t anx 3 1 tan 3 1 cot( ) 3

y

x y

⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ + = ⎪⎩

1 t anx 3 1 tan 3 y

⎧ = ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ = ⎪⎩

(0,5đ)

6 ( ; )

6

x m m n y n

π π

π π

⎧= + ⎪⎪ ⇔ ∈Ζ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩

(0,5đ)

Xét hệ ( II )

1 t anx 3 1 tan 3 1 cot( ) 3

y

x y

⎧ = − ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎪ ⎪ + = − ⎪⎩

1 t anx 3 1 tan 3 y

⎧ = − ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ = − ⎪⎩

(0,5đ)

6 ( ; )

6

x m m n y n

π π

π π

⎧= − + ⎪⎪ ⇔ ∈Ζ ⎨ ⎪ = − + ⎪⎩

(0,25đ)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho :

6 ( ; )

6

x m m n y n

π π

π π

⎧= + ⎪⎪ ∈Ζ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩

; 6 ( ; )

6

x m m n y n

π π

π π

⎧= − + ⎪⎪ ∈Ζ ⎨ ⎪ = − + ⎪⎩

(0,25đ)

DeThi.edu.vn