Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Phổ thông) - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG Ngày thi: 20/3/2015 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số 2 2 1 x y x

+ = −

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng

tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng ( ) : 2 3 1 0 d x y + −= một góc 0 45 .

Câu 2 ( 2,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 3 2 1 3 y mx mx m x m = − + + + − có hai

điểm cực trị A và B sao cho khoảng cách từ điểm 1 15 ; 2 4 I      

đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho đa giác đều (H) có n đỉnh ( , 4 n n ∈ > ℕ ). Tìm n , biết rằng số các tam giác có ba

đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H).

Câu 4 ( 2,0 điểm). Tính tích phân 2 2 1

ln 1 . ln

e x I dx x x − = − ∫

Câu 5 ( 2,0 điểm). Giải phương trình ( )( ) 1 2 4 3 4 x x x + + = ⋅ ( ) x∈ℝ.

Câu 6 ( 2,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu

vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với O. Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng CC’ bằng a, góc

giữa hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 0 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và AB’. Câu 7 ( 2,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2 5 0 P x y z − − − = và

đường thẳng 2 3 3 ( ) : 4 2 1 x y z d − − + = = . Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ nằm trong (P), song song với

( ) d và cách ( ) d một khoảng bằng 14 .

Câu 8 ( 2,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh ( ) 3;3 A , đường phân giác trong

góc A có phương trình 0 x y − = . Điểm ( ) 2;1 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ các

đỉnh B và C biết rằng 8

5 BC = và góc BAC nhọn.

Câu 9 ( 2,0 điểm). Giải hệ phương trình

3 3 2 2

3 1 2 2

2015 3 1 4 4 2 x y

x y x y xy xy

x y x y −−

 + + − =    + − + = − + 

( ) , . x y∈ℝ

Câu 10 ( 2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn 2 2 2 2( ) a b c ab a b c + + + = + . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

( )

2 2

2 2 2 . c c ab P a b a b a b c = + + + + + −

------ HẾT ------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.................................. Giám thị 1 (Họ tên và ký).............................................................................................................. Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Hướng dẫn giải Điể

m Câu 1 (2đ)

(2.0 điểm)

TXĐ: 1 \ 2

       ℝ . Ta có 2 5 '

(2 1) y

x

− =

−

. Tiếp tuyến của (C) tại điểm 2 ; 2 1 a M a a

  +         −  

có phương trình là

2 5 2 ( ) 2 1 (2 1)

a y x a a a

− + = − + − −

( ) △.

0.5

( ) △ có VTPT là ( ) 2 5;(2 1) n a −

; (d) có VTPT là '(2;3) n

.

Ta có

2 0

4 | . ' | 2 | 10 3(2 1) | cos 45 | | . | ' | 2 13. 25 (2 1)

n n a n n a

+ − = ⇔ = + −

0.5

Đặt 2 (2 1) 0 t a = − ≥ ta có PT trên thành 2 1 24 25 0 25 ( )

t t t t l

=  + − = ⇔= − 

0.5

Với t = 1 tính được a = 0 hoặc a = 1. Vậy có hai tiếp tuyến của (C) thoả mãn là: 5 2 y x = − − và 5 8 y x = − + . 0.5

Câu 2 (2đ)

(2.0 điểm)

TXĐ: ℝ. Ta có 2 ' 3 6 2 1 y mx mx m = − + +

Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x

2 0 1

(*). 0 ' 3 3 0

m m

m m m

   ≠ >   ⇔ ⇔    < ∆= − >    

0.5

Ta có 1 1 2 10 '. (1 ) 3 3 3 3

m y y x m x   −    = − + − +      

. …