Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Phổ thông) - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG

Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (5,0 điểm) 1) Cho ( ) m C là đồ thị của hàm số 4 2 (2 1) 2 y x m x m     (m là tham số). Tìm m để ( ) m C tiếp xúc

với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

2) Cho hàm số 2

1 x y x   có đồ thị (C). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho tam

giác OMN vuông cân tại O, với O là gốc tọa độ. Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình 1 sin 4 sin3 sin 6 2 x x x           

( x ).

2) Giải phương trình    

2 | 2 | 2 4 3

1 3

3 4 log 4 6 2 log 2| 2| 2 0 x x x x x x           ( x ).

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2 2 2 2

1 3.

     

    

x y x y

x y x y

( ,x y ).

2) Tính tích phân

/4

0 cos 2 sin 2 dx I

x x

 

  .

Câu 4 (6,0 điểm)

1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a, 0 ' ' 60 . BAD BAA A AD   

a) Tính thể tích hình hộp đã cho theo a. b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng đáy của hình hộp. 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 4 19 0 x y z x y z        và mặt phẳng (P): 2 2 4 0 x y z     .

a) Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. b) Lập phương trình đường thẳng ( )  đi qua tâm của (S), vuông góc với đường thẳng 1 ( ): 1 2 3

x t d y t z

      

và tạo với mặt phẳng (P) một góc 30o .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho bốn số thực , , a b c và d thuộc đoạn 1 2 ; . 2 3      

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 16 25 . a c c d T a d a b                  

------ HẾT ------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NGÀY THI 29/3/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (5đ)

1.1. (3.0 điểm)

Đồ thị ( ) m C tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

4 2

3

(2 1) 2 0 (1)

4 2(2 1) 0 (2)

x m x m

x m x

         

0.5

* Phương trình (2) tương đương 0 x hoặc 2 2 1 x 2 m 0.5

* Với 0 x thay vào hệ phương trình ta được 0 0 m

x

   

0.5

Vậy với 0 m thì đồ thị ( ) m C tiếp xúc với trục hoành tại một điểm (không thỏa mãn). 0.5

* Với 2 2 1 x 2 m thay vào (1) ta tìm được 1 2 m . 0.5

Thay 1 2 m vào hệ phương trình ta tìm được 1 x .

KL: với 1 2 m thì đồ thị ( ) m C tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

0.5

1.2 (2.0 điểm)

Lấy hai điểm phân biệt 2 2 ; , ; ,( 1; 1; ) 1 1 a b M a N b a b a b a b thuộc đồ thị (C).

Tam giác OMN vuông cân tại O khi và chỉ khi

. 0

OM ON

OM ON

   

0.5

   

  

2 2 2 2 2 2 4 4 (3) 1 1

4 0 (4) 1 1

a b a b a b

ab ab a b

        

      

Từ (4) suy ra    1 1 4 a b    hoặc 0 ab

0.5

Nếu ab=0 suy ra hoặc M hoặc N trùng với O (không thỏa mãn). Biến đổi phương trình (3) thành 5 2ab=0 a b 0.5

Ta được hệ

( 1)( 1) 4

5 2ab=0

a b

a b

Giải ra ta được

5

5 = 3

a

b

hoặc

5 3 =-5

a

b

Vậy ta tìm được cặp điểm 1 1 5 5 ;5 ; 5; 3 3 M N hoặc 2 2 5 5 5; ; ;5 3 3 M N

0.5

DeThi.edu.vn