Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Chuyên) - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 CHUYÊN

Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình   2 2sin3 1 4sin 1. x x  

2) Cho hàm số 2 1 x y x   có đồ thị (C). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho tam

giác OMN vuông cân tại O, với O là gốc tọa độ. Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình    

2 | 2 | 2 4 3 1 3 3 4 log 4 6 2 log 2| 2| 2 0 x x x x x x           ( x ).

2) Giải hệ phương trình

2 2

2

2 1

2 2 4 3 4 5

                

xy x y x y

x y x y x y x y

( x ).

Câu 3 (5,0 điểm)

1) Tính tích phân

/4

0 cos 2 sin 2 dx I x x

    .

2) Tìm số phức z biết rằng 2z 3 z i    và    

1

1 3 1 3

i z

i



  

có một acgumen bằng . 6  

Câu 4 (5,0 điểm)

1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a, 0 ' ' 60 . BAD BAA A AD   

a) Tính thể tích hình hộp đã cho theo a. b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng đáy của hình hộp.

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 : 2 1 2      x y z d và hai điểm

(1;5;0), (3;3;6) A B . Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho chu vi của tam giác ABC đạt giá

trị nhỏ nhất.

Câu 5 ( 2,0 điểm). Cho bốn số thực , , a b c và d thuộc đoạn 1 2 ; . 2 3      

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 16 25 . a c c d T a d a b                  

------ HẾT ------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NGÀY THI 29/3/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 CHUYÊN

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (4đ)

1.1. (2.0 điểm)

2 2 2sin3x 1-4sin 1 2sin3x 4cos 3 1 x x (1)

Xét osx=0 x= , . 2 c k k thay vào (1) không thỏa mãn. 0.5

Xét osx 0 x , . 2 c k k

Nhân hai vế của (1) với osx c ta được 2sin3x os3x=cosx c

0.5

sin6x=sin 2 x

2 14 7 2 10 5

x k

x k

; . k 0.5

Kết hợp với x , 2 k k ta được tập nghiệm

2 2 ; , 7 5, 7 5, 5 1, , 14 7 10 5 k k k n k n k n k n

0.5

1.2 (2.0 điểm)

Lấy hai điểm phân biệt 2 2 ; , ; ,( 1; 1; ) 1 1 a b M a N b a b a b a b

thuộc đồ thị (C).

Tam giác OMN vuông cân tại O khi và chỉ khi

. 0

OM ON

OM ON

   

0.5

   

  

2 2 2 2 2 2 4 4 (3) 1 1

4 0 (4) 1 1

a b a b a b

ab ab a b

        

      

Từ (4) suy ra    1 1 4 a b    hoặc 0 ab

0.5

Nếu ab=0 suy ra hoặc M hoặc N trùng với O (không thỏa mãn). Biến đổi phương trình (3) thành 5 2ab=0 a b 0.5

Ta được hệ

( 1)( 1) 4

5 2ab=0

a b

a b ,

Giải ra ta được

5

5 = 3

a

b

hoặc

5 3 =-5

a

b

Vậy ta tìm được cặp điểm 1 1 5 5 ;5 ; 5; 3 3 M N hoặc 2 2 5 5 5; ; ;5 3 3 M N

0.5

DeThi.edu.vn