Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Phổ thông) - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 PHỔ THÔNG Ngày thi: 31/03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4 điểm)

Cho điểm I(-1; 2) và hàm số 2

1 x y x = + . (1)

1) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho OB = 2 . OA 2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị hàm số (1) sao cho độ dài MN nhỏ nhất. Câu 2. (4 điểm) 1) Giải phương trình

2 sin(4 ) sin 2 cos 2 2sin3 sin cos 1 0, 4 x x x x x x π − + + − + + −= (x ∈ℝ).

2) Giải phương trình

3 1 2 1 2 2 4 9.2 3, 2

x x x x + + + − + < + − (x ∈ℝ).

Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân

2 2

3

4

cos

sin sin( ) 4

xdx

x x

π

π π + ∫ .

Câu 4. (2 điểm Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

2 2

2 2 2 9

2

x y x my

xy y x

 + =  + = 

có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Câu 5. (6 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, , 3 SA a SB a = = .Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD. b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z - 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, d nằm trong (P) sao cho góc giữa d và Oz có số đo nhỏ nhất.

Câu 6. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c + + = 1. Chứng minh rằng

3 2 a bc b ca c ab a bc b ca c ab − − − + + ≤ + + + .

--------------------------------Hết------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..................................................................................................

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MÔN THI:TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu I 1.

( )

2 2 2 ' 1 1

x y y x x = ⇒ = + + >0

Tiếp tuyến của ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy tại A, B thoả mãn OB = 2OA suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = ± 2. Do y’ >0 nên k = 2

Xét phương trình ( )

2 2 2 1 x

= + suy ra x = -2 hoặc x = 0

Với x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là d1: y = 2x (không thoả mãn). Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d2: y = 2x +8 (thoả mãn) 2. Không mất tính tổng quát, ta giả sử xM > -1, xN < -1.

Khi đó 2 2 ( 1 ;2 ), ( 1 ;2 ) M a N b a b −+ − −− + , với a, b > 0.

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1 1 ( ) 4

4 64 ( ) 4 ( )

64 2 ( ) 16

MN a b a b

a b a b a b a b

a b a b

  = + + +    

  ≥ + + = + +   +   +

≥ + = +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2

0

2. 64 ( ) ( )

a b a b a b a b

= >  ⇔ = =  + =  + 

Từ đó tìm được M( 2 -1; 2- 2 ) và N(- 2 -1; 2 + 2 ).

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5

II 1. Phương trình đã cho tương đương với sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0

⇔(sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = 0

⇔

2 18 3 1 7 2 sin3 2 18 3 sin cos 1 2

2 2

k x

k x x

x x x k

x k

π π

π π

π π π

= − +     = − = +   ⇔   + = =   = + 

KL... 2.Đặt t = 2x ta có bất phương trình

1 1

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn