Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Chuyên) - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 CHUYÊN Ngày thi: 31 /03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4 điểm)

Cho điểm I(-1;2) và hàm số 2

1 x y x = + . (1)

1) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho OB = 2 . OA 2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị hàm số (1) sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

Câu 2. (4 điểm) 1) Giải phương trình

2 sin(4 ) sin 2 cos 2 2sin3 sin cos 1 0, 4 x x x x x x π − + + − + + −= (x ∈ℝ).

2) Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

2 2

2 2 2 9

2

x y x my

xy y x

 + =  + = 

có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 3. (4 điểm)

1) Tính tích phân

3

1

3 3 3 1 7

. 1

dx

x x + ∫ .

2) Tìm tất cả các hàm số : f + + → ℝ ℝ thỏa mãn

( ( )) ( ( )) xf xf y f f y = , , . x y + ∀ ∈ℝ Câu 4. (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz, cho elip (E):

2 2 1 4 x y + = . Lập phương trình đường

thẳng d song song với đường thẳng ∆: x – y + 2013 = 0, đồng thời d cắt (E) tại hai điểm A, B sao

cho diện tích tam giác OAB bằng 4

5 .

2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, , 3 SA a SB a = = . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z - 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, d nằm trong (P) sao cho góc giữa d và Oz nhỏ nhất.

Câu 5. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c + + = 1. Chứng minh rằng

3 2 a bc b ca c ab a bc b ca c ab − − − + + ≤ + + + .

--------------------------------Hết------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:.........................................

Giám thị 1: (Họ tên và ký)..................................................................................................

Giám thị 2: (Họ tên và ký)..................................................................................................

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31/3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 CHUYÊN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu I 1.

( )

2 2 2 ' 1 1

x y y x x = ⇒ = + + >0

Tiếp tuyến của ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy tại A, B thoả mãn OB = 2OA suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = ± 2. Do y’ >0 nên k = 2

Xét phương trình ( )

2 2 2 1 x

= + suy ra x = -2 hoặc x = 0

Với x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là d1: y = 2x (không thoả mãn). Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d2: y = 2x +8 (thoả mãn) 2. Không mất tính tổng quát, ta giả sử xM > -1, xN < -1.

Khi đó 2 2 ( 1 ;2 ), ( 1 ;2 ) M a N b a b −+ − −− + , với a, b > 0.

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1 1 ( ) 4

4 64 ( ) 4 ( )

64 2 ( ) 16

MN a b a b

a b a b a b a b

a b a b

  = + + +    

  ≥ + + = + +   +   +

≥ + = +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2

0

2. 64 ( ) ( )

a b a b a b a b

= >  ⇔ = =  + =  + 

Từ đó tìm được M( 2 -1; 2- 2 ) và N(- 2 -1; 2 + 2 ).

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

II 1. Phương trình đã cho tương đương với sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0

⇔(sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = 0

⇔

2 18 3 1 7 2 sin3 2 18 3 sin cos 1 2

2 2

k x

k x x

x x x k

x k

π π

π π

π π π

= − +     = − = +   ⇔   + = =   = + 

KL... 2.Nhận xét (0; 0) luôn là một nghiệm của hệ với mọi m.

1 1 0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn