Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0 điểm)

Cho hàm số ?= 2?−1 ?−1 (1)

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B với độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 2: (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau đây trên tập xác định của nó:

?= ?(?) = ?2 − 36

√9 −?2 + 1

Bài 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sin3 ?+ 3 cos ?= 3 sin2 ?cos ?+ 2 sin ? Bài 4: (2,0 điểm) Giải bất phương trình

√? 3 + √2?+ 1

3 < √3?+ 4

3 Bài 5: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình

{ ??= 2?−? 2?3 + ?3 = −2

Bài 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D có BC = 2 AB, M(4; 0) là trung điểm của BC, đường thẳng AD có phương trình 2?−?+ 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C biết rằng hình thang ABCD có diện tích bằng 54

5 và các tọa độ của hai điểm A, B đều dương.

Bài 7: (3,0 điểm) Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực hiện khuyến mãi như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khách sạn đều chọn ngẫu nhiên hai người để tặng thưởng. Có hai đoàn du lịch cùng đến khách sạn, đoàn thứ nhất có 6 người Việt Nam và 12 người Pháp; đoàn thứ hai có 3 người Việt Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tính xác suất để cả hai đòan có ít nhất hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam.

Bài 8: (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho SA = 1

2 AD = ?; SB = ?√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. a) Tính theo a thể tích khối chớp S. BMDN. b) Tính cosin góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và DN. ------Hết------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SBD : PHÒNG:

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

A.ĐÁP ÁN

Bài LƯỢC GIẢI Điểm

Bài 1

?= 2?−1 ?−1 (1)

TXĐ ?= ℝ \{1} ?′ = − 1

(?−1)2 ;

lim ?→±∞?= 2 ; lim ?→.1+ ?= +∞ ; lim ?→.1−?= −∞

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ?1: ?= 1 tiệm cận ngang ?2: ?= 2

?∈(?) ⟹?(?; 2 + 1 ?−1) ; ĐK ?≠1

Phương trình tiếp tuyến tại ?

?= − 1 (?−1)2 (?−?) + 2 + 1 ?−1

A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng

⟹??= 1 ; ??= 2 + 2 ?−1

B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang

??= 2; 2 = − 1 (?−1)2 (??−?) + 2 + 1 ?−1 ⟺??= 2?−1

??= √(2?−2)2 + (− 2 ?−1)

2

= 2√(?−1)2 + 1 (?−1)2

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng ta được

(?−1)2 + 1 (?−1)2 ≥2

⟹??≥2√2 Vậy AB ngắn nhất bằng 2√2 Dấu bằng xảy ra khi (?−1)2 = 1 ⟹?= 0; ?= 2 ?= 0 ⟹?(0; 1); ?= 2 ⟹?(2; 3) Vậy tọa độ điểm M cần tìm là (0; 1); (2; 3)

3,0 điểm

Bài 2

?= ?(?) = ?2 − 36

√9 −?2 + 1

Tập xác định ?= [−3; 3] Đặt ?= √9 −?2 ?? ?∈[−3; 3] ⟹?∈[0; 3]; ?2 = 9 −?2 Xét hàm số

?(?) = 9 −?2 −36 ?+ 1 ??ê? ?ậ? ?= [0; 3]

?′(?) = −2?+ 36 (?+ 1)2

?′(?) = 0 ⟺2?(?+ 1) = 36 ⟺?(?+ 1)2 = 18 ⟺(?−2)(?2 + 4?+ 9) = 0 ⟺?= 2 ?(0) = −25 ; ?(2) = −7 ; ?(3) = −9 ⟹max

? ?(?) = −7 ?ℎ? ?= 2

2,0 điểm

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn