Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12

Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0điểm).

Cho hàm số ( m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với .

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải phương trình :

Bài 3: (3,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 4: (4,0 điểm)

Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi một khác nhau.

Bài 5 : (3,0 điểm)

Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36.

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi. Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất.

(Cho biết: )

-----Hết-----

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD : ………… PHÒNG :……

SỞGIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Năm học 2012 – 2013

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn

Bài 1

 Đ   Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến thiên sau

0 0

 Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là  Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được

ạ

 Vậy thỏa đề

3,0 điểm

Bài 2

Giải phương trình

 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là

thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương

 Đặt

phương trình trở thành

3,0 điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 AN GIANG Năm học 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1

A.ĐÁP ÁN

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn

 Lại đặt

phương trình trở

thành

ạ

 Với

vậy là nghiệm của

phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm

Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :

So với điều kiện phương trình có hai nghiệm

Bài 3

 TXĐ:

 Đặt

Vậy

 Xét hàm số

3,0 điểm

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn

Vậy

Bài 4

 Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương ứng với bộ

ố

ố

ố

trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0. Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và 2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và không được đứng đầu và đứng cuối.  Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện * Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp * Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí đầu và cuối). * Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)

* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có

các bộ số cần tìm.

Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba nghiệm bằng nhau.

 Ta đếm các nghiệm trong đó . Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện * Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách chọn. * Số còn lại là có đúng một cách chọn. Vậy có 1005 bộ ba số trong đó . * Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số giống nhau Vậy có

các bộ nghiệm trong

đó đôi một khác nhau.

4,0 điểm

hoctoancapba.com

DeThi.edu.vn