Luyện thi THPT môn Toán - Chuyên đề 6 Tích phân và ứng dụng của tích phân - Vũ Tuấn Anh

87

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Kiến thức liên quan 1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

1.2. Công thức tích phân

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

1.3. Phương pháp đổi biến số

1.3.1. Dạng 1 : Tính I =

+ Đặt t = + Đổi cận : I =

1.3.2. Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x =

Dạng chứa : Đặt x = asint, t (a>0)

1.4. Phương pháp tích phân từng phần

x a b t

dx x C    . , a a dx ax C     ¡

1

, 1 1 x x dx C

   

     

1 1 ( ) ( ) . 1 ax b ax b dx C a

 



      

ln , x 0 dx x C x    

1 .ln dx ax b C ax b a     

x x e dx e C    1 . ax b ax b e dx e C a

    

ln

x x a a dx C a   

1 . ln

x x a a dx C a

   



    

cos sin xdx x C    1 cos( ) .sin( ) ax b dx ax b C a     

sin cos xdx x C    1 sin( ) .cos( ) ax b dx ax b C a     

2 1 tan cos dx x C x    2

1 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a     

2 1 sin dx cotx C x    2

1 1 ( ) sin ( ) dx cot ax b C ax b a     

( ) ( ) ( ) ( )

b

b

a a

f x dx F x F b F a    

 

' ( ) ( )

b

a

f x x dx   

( ) x  '( ). dt x dx   

 ( )

( )

( ) ( ). ( ) ( )

b

a

b f t dt F t a







  

( )

b

a

f x dx  ( )t 

2 2 a x  ; 2 2        

( ) a  ( ) b 

DeThi.edu.vn

88

* Công thức tính :

 Đặt

Ta thường gặp hai loại tích phân như sau: * Loại 1:

, trong đó là đa thức bậc n.

*Loại 2:

1.5. Tính chất tích phân

Tính chất 1: , k: hằng số

Tính chất 2:

Tính chất 3:

1.6. Diện tích hình phẳng 1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

(*)

Lưu ý:

 vô nghiệm trên (a;b) thì

 có 1 nghiệm thì

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

  

  



   

) ( ...

) ( ... ... ...

ham nguyen lay v

ham dao lay dx du dv

u

( )

b b b b

a a a a f x dx udv uv vdu      

( )

( ).sin ( ).

( ).cos ( ). ( )

( ). .

b

a

b

a

b

f x

a

P x f x dx

P x f x dx u P x

P x e dx

          







( ) P x

( ).ln ( ). ln ( )

b

a

P x f x dx u f x   

( ) ( )

b b

a a kf x dx k f x dx   

  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx      

( ) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx a c b       

( )

b

a S f x dx 

( ) 0 f x 

( ) ( )

b b

a a S f x dx f x dx    

( ) 0 f x  ( ; ) c a b 

( ) ( ) ( )

b c b

a a c S f x dx f x dx f x dx      

DeThi.edu.vn

89

(**)

Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*). 1.7. Thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

Lời giải

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

Lời giải

 Đặt ta được

1 2 ( ) ( )

b

a S f x f x dx   

2( )

b

a V f x dx  

   

 

1 1

0 0 0

4 2

3 1 0

1/ (2x+e ) x 2 / 2 3 3 / sinx+cos

2 3 4 / 5 / sin 2

x x x A d B e dx C x dx

x x D dx E x x dx x





   

          

  

 

 

1 1 1 1 1 2

0 0 0 0 0 1/ 2 2 1 0 1 x x x A x e dx xdx e dx x e e e            

     

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

2 2 2 1 3 2 / 2 3 2 3 2 3 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x x x x x e e B e dx e dx dx e e                  

  0 0 0 0 0 3 / sinx cos sinx cos cos sin 2 C x dx dx xdx x x

  

           

4 4 4 5 3 4 4 3 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1

1 3 1 2 3 4 / 3 ln 3 2 x D dx x x dx x x x x x x x

                            

 

2 2

0 0 0 0 0

1 1 5 / sin 2 sin 2 cos2 2 2 2 E x x dx …