Lời giải câu 48 mã đề 101 trong đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2019

Câu 48 – Mã đề 101 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : . Có bao nhiêu điểm A(a,b,c) ( a,b,c  Z) thuộc mp Oxy sao cho có ít nhất 2 tiếp tuyến của (S) qua A và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12 B. 8 C. 16 D.4 Giải: A(a,b,c) ( a,b,c  Z) thuộc mp Oxy  A(a,b,0) Giả sử qua A có ít nhất 2 tiếp tuyến AM, AN của (S) vuông góc với nhau. Khi đó mp (AMN) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H, bán kính r. Ta có AMHN là hình vuông cạnh r. AN  HN  AN  IN ( Định lí 3 đường vuông góc) Tam giác AIN vuông , ta có: AI2 = AN2+IN2  a2+b2+2= r2+3 a2+b2 = r2+1 (*) a,b  A  r2  Z , 0  r   r2 =0,1,2,3.  r2 =0, (*)  a2+b2 = 1  a2=0, b2 = 1 hoặc a2=1,b2 = 0  có 4 điểm A. Điểm A lúc này nằm trên (S) , qua A có ít nhất 2 tiếp tuyến của (S) , vuông góc với nhau.  r2 =1, (*)  a2+b2 = 1+1  a2=1,b2 = 1  có 4 điểm A.  r2 =2, (*)  a2+b2 = 2+1 ( vô nghiệm )  r2 =3, (*)  a2+b2 = 4  a2=0,b2 = 4 hoặc a2= 4,b2 = 0  có 4 điểm A. Vậy có cả thảy 12 điểm A. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 2 ( 2) 3 x y z + + + =

3

R

(0,0,- 2)

(a,b,0)

r r

I

H A

N

M

DeThi.edu.vn