Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

Đề xuất đề thi học sinh giỏi

líp 12

Môn: Toán - Bảng A

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho phương trình:

m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1

1) Giải phương trình trên với m=1.

2) Tìm m để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5 ; 2 2 x         

Bài 2:

1) Giải phương trình (Sin)x + (tg)x = ()x

(với x là tham số, 0 < x < 2

 )

2) Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.

32-x - Sin a +1. log (x2 + 4x + 6) +

2 4 1 ( 3) .log 2( 1 1)

x x

x Sina   

   =0

Bài 3: Với mọi ABC, k 3 0, 4      

. Chøng minh:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 A B B C C A Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C              

Bài 4: Xét hai dãy số:  



         

   

1 1

1

1

a ; 0

1 ; ; voi

1 (i=1, 2...)

n n i i

i

i i

i

b

a b a b a

b a b

Chøng minh (a2006 + b2006)2 > 16039

Bài 5: Cho tứ diện ABCD

1) Gọi i (i= 1, 2, .., 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lượt là các cạnh của tứ diện

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Chøng minh: 



 

6

1

2 i i

Cos .

2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N. Gọi V, V1

lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN. Chứng minh:

1 4 1 9 2   V V

3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lượt là: Sa, Sb, Sc, Sd. I là tâm hình

cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Chøng minh:

         . . . . 0 a b c d S IA S IB S IC S ID

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán. Bảng A

C©u Néi dung §iÓm

Bài 1 5

1 3

Với m =1; Phương trình

      

2

0

4 2 2 0

Cosx

Cos x Cosx

 



 

             

 

     

x= 0 2 1 2 1 2 2 2 3

k Cosx Cosx x k

Cosx x k

1

2

2 2

Phương trình

       

2

0

4 2 3 0

Cosx

Cos x Cosx m

* Cosx =0 Cã 2 nghiÖm:    3 ; x= 2 2 x

* Ycbt  4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0

        

2 (-1 1)

( ) 4 2 3

Cosx t t

f t t t m

Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn:

     

1 2

2

1 0 1: (a)

0<t<1=t (b)

t t

* Trường hợp (b) loại (vì nếu t2=1 thì t1<0)

* Trường hợp (a)        

( 1). (0) 0 1< m < 3 (0). (1) 0 f f f f

Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 2 4

1 2

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Phương trình

                  

1

x x Sin tg

Chøng minh:        0, 2 u cã Sinu < u < tgu

nên:      

        1 : 0, 2 Sin tg

Khi đó

  

x =0: VT =2 > VP x >0: VT > VP x <0; VT> VP

 Vậy phương trình vô nghiệm

0,5

0,5

0,5

0,5

2 2

§Æt Sina -1 =m (-2 m  0)

ta luôn có: xR thì:

       

2 x 4 6 2

2 x-m 2 2

x

nên TXĐ của phương trình là R

Ta có phương trình    

         

2 2 2 4 6 2 ( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2) x m x x x x x m

Xét hàm số: f(t) =       3 log ( ) : 2; + t

t

là hàm số đồng biến với x[2; +)

nên phương trình  x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*)

          

2

2

2 2 4 0 : (1)

6 4 2 0 : (2)

x x m

x x m

Theo yêu cầu bài toán  (*) có 3 nghiệm phân biệt 

     

0 0

0 1

(1) cã nghiÖm kÐp x ;(2) cã 2 nghiÖm x

(2) cã nghiÖm kÐp x ;(1) cã 2 nghiÖm x

(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau

0,5

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

DeThi.edu.vn