Một số bài tập nâng cao về Số phức

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019

1

MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ SỐ PHỨC

I. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HOC: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC PHẲNG – ÁP DỤNG VÀO SỐ PHỨC. 1) Bài toán 1: Cho điểm M di động trên đường thẳng d. A là điểm cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MA.

Chú ý: *) MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng d. *)

Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn .

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của .

b) Tìm z khi nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Giả thiết .

Gọi H là hình chiếu của O trên Với O là gốc tọa độ.

nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng .

Do đó

Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn .

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

b) Tìm z khi nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Giả thiết

với .

  min ; MA d A d 

M d

A

H

2 2 3 z i z i     

z 2 5 min 5 z         

z 4 2 5 5 z i        

  ; M x y z x yi  

2 2 3 z i z i      2 2 0 : 2 2 0 x y M x y        

4 2 ; 5 5 H         z OM  

2 5 min 5 z  4 2 5 5 z i   

3 2 1 z i z i   

3 2 P z i   5 min 2 P       

P 1 1 2 z i       

  ; M x y z x yi  

3 2 1 z i z i     8 6 11 0 :8 6 11 0 x y M x y        

    2 2 3 2 3 2 P z i x y AM           3; 2 A 

DeThi.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019

2

Gọi H là hình chiếu của O trên

AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng .

Do đó

2) Bài toán 2: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính R. A là điểm cố định. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MA.

Chú ý: Gọi B, C là các giao điểm của đt AI với đường tròn (C) và AC AB. *) MA lớn nhất khi và chỉ khi M =C. MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M =B. *) ;

Bài tập 1. Cho các số phức z thỏa mãn .

a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính .

b) Tìm z khi nhỏ nhất .

c) Tìm z khi lớn nhất. Hướng dẫn giải:

Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Phương trình đường thẳng với I(6;2) là tâm của (T). đường thẳng cắt (T) tại hai điểm A(3;1), B(9;3). nhỏ nhất khi và chỉ khi E=A(3;1) và

lớn nhất khi và chỉ khi E=B(9;3) và

Bài tập 2. Cho các số phức z thỏa mãn .

1 1; 2 H        

 5 min 2 P   1 1 2 z i 



min MA AI R   Max MA AI R  

6 2 10 z i   

z P M m  

  3 10; 10 M m  

z   3 z i  

z   9 3 z i  

  ; E x y z x yi  

6 2 10 z i        2 2 6 2 10 x y         2 2 : 6 2 10 E T x y       : 3 0 OI x y   OI z OE  10 3 m OA z i     

z OE  3 10 9 3 M OB z i     

3 2 5 z i  

DeThi.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 2019

3

a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

Tính .

b) Tìm z khi nhỏ nhất .

c) Tìm z khi lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi là điểm biểu diễn số phức .

với

Phương trình đường thẳng với I(3;2) là tâm của (T). đường thẳng cắt (T) tại hai điểm B(-1;-1), C(7;5)

nhỏ nhất khi và chỉ khi E=B(-1;-1) và

lớn nhất khi và chỉ khi E=C(7;5) và

Bài tập 3. Cho các số phức z thỏa mãn .

a) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

Tính .

b) Tìm z khi nhỏ nhất .

c) Tìm z khi lớn nhất.

3) Bài toán 3: Cho điểm M di động trên đường tròn (C) tâm I, bán kính ; Điểm N di động trên đường tròn (T) tâm K, bán kính . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn MN.

5 3 2 z i  

P M m   25 5 ; 2 2 M m         5 3 2 z i     1 z i 

5 3 2 z i     7 5 z i  

  ; E x y z x yi  

3 2 5 z i        2 2 3 2 25 x y         2 2 : 3 2 25 E T x y      

5 3 2 z i AE    5 3; 2 A       

:3 4 1 0 AI x y   AI

AE 5 1 2 m z i   

AE 25 7 5 2 M z i    

3 2 5 z i  

1 1 2 z i 

P M m   15 5 ; 2 2 M m         1 1 2 z i    1 z i 

1 1 2 z i    7 5 z i  

1 R

2 R

DeThi.edu.vn