Bài tập tự luyện Đại số Lớp 12 - Chủ đề 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số  y f x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng   ;a ;

  ;b  hoặc   ; ). Đường thẳng 0 y y  là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số  y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 0 lim ; lim . x x y y y y    

▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng 0 x x  là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

 y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

0 lim ; x x y

  

0 lim ; x x y

  

0 lim ; x x y

  

0 lim . x x y

  

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số

Phương pháp giải:

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số  y f x  ta thực hiện các bước sau:

▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số  y f x 

▪ Bước 2: Tìm giới hạn của  f x khi x tiến đến biên của miền xác định.

▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.

Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số  

f x y g x  ta có thể làm như sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định D.

- Bước 2:

+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim ; lim x x y y   và kết luận tiệm cận ngang

+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức

 

f x g x về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.

Chú ý:

- Nếu bậc của  f x nhỏ hơn hoặc bằng bậc của  g x thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

- Nếu bậc của  f x lớn hơn bậc của thì  g x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

DeThi.edu.vn

a)  2 2 . 1

x y C x   b) 

2

2 2 5 1 . 5 4 x x y C x x     

Lời giải

a) TXĐ:   \ 1;1 D   ¡ . Ta có:

2 2

2

2

2 1 2 lim lim lim 0 0 1 1

1

x x x x x x y y x

x

  

       



là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số.

Mặt khác

1 lim

x y   và

 1 lim x y   nên 1 x  và 1 x  là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) TXĐ:   \ 1;4 D ¡ .

Ta có:   

2

1 1

2 5 1 lim lim 1 4    

      x x

x x y x x (hoặc   

2

1 1

2 5 1 lim lim 1 4 x x

x x y x x    

      ) nên đường thẳng 1 x  là

tiệm cận đứng của (C).

Tương tự đường thẳng 4 x  cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lại có:

2 2

2

2

5 1 2 2 5 1 lim lim lim 2 5 4 5 4 1 x x x x x x x y x x

x x

  

          

nên đường thẳng 2 y  là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau

a) 2

3 2 . 1 x x y x

    b)

2

2

4 3 . 7 4

x x y

x

  

 

Lời giải

a) TXĐ:    3; \ 1 . D   

Ta có: 2

3 2 lim lim 0 0 1 x x

x x y y x  

       là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác   

  

  

2

2 1 1 1 1

1 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 lim lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x

x x x x x x x x x x y x x x x x    

                 

   1

3 4 7 lim 1 8 1 3 2 x

x x x x x 

        

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có:

    2 1 1

3 2 lim lim 1 1 x x

x x y x x  

      là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: . D ¡ Ta có:

2

2

4 3 lim lim

7 4 x x

x x y

x  

     

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

DeThi.edu.vn