Bài tập trắc nghiệp Đại số Lớp 12 - Cực trị hàm số (Có đáp án)

CỰC TRỊ HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0x K  . Ta nói:

• 0x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b chứa 0x sao cho   ;a b K  và

     0 0 , ; \ f x f x x a b x   . Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf .

• 0x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b chứa 0x sao cho   ;a b K  và

     0 0 , ; \ f x f x x a b x   . Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf .

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trịcực trị (hay cực trị) củahàmsố. • Nếu 0x là điểm cực trị của hàm số thì điểm     0 0 ; x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm

số f . * Nhận xét:

• Giá trị cực đại (cực tiểu)   0 f x nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f

trên tập D;   0 f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng   ;a b nào đó

chứa 0x hay nói cách khác khi 0x điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa 0x sao cho   0 f x là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng  . ;a b

• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:

Giả sử hàm số  y f x  đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu  y f x  có đạo hàm tại điểm 0x thì

  0 0. f x  

Chú ý:

• Đạo hàm  f x  có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm 0x .

• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0x thì   0 ' 0 f x  .

• Nếu trên khoảng   0 0 ; x h x  và  0 f x   trên khoảng   0 0 ; x x h  thì 0x là một điểm cực đại của

hàm số . f x

DeThi.edu.vn

• Nếu  0 f x   trên khoảng   0 0 ; x h x  và  0 f x   trên khoảng   0 0 ; x x h  thì 0x là một điểm

cực tiểu của hàm số . f x

4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm . f x 

• Bước 2: Tìm các điểm ix   1;2;... i  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục

nhưng không có đạo hàm. • Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu  f x  . Nếu  f x  đổi dấu khi đi qua ix thì hàm số

đạt cực trị tại ix . Định lí 3:

Giả sử  y f x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng   0 0 ; x h x h   với 0. h  Khi đó:

• Nếu   0 0, f x     0 0 f x   thì hàm số f đạt cực đại tại 0. x

• Nếu   0 0, f x     0 0 f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0. x

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm . f x 

• Bước 2: Tìm các nghiệm ix   1;2;... i  của phương trình  0. f x  

• Bước 3:Tính  f x  và tính . i f x 

Nếu  0 i f x   thì hàm số f đạt cực đại tại điểm . ix

Nếu  0 i f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm . ix

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

3 2 . y ax bx cx d     Chuyên đề ôn thi thpt quốc gia đầy đủ các các dạng toán 12 chia thành 2 bản học sinh và giáo viên, rất thuận tiện cho dạy học, liên hệ zalo 0972277448

1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số  

3 2 ; . y f x m ax bx cx d      Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại

1 2 , x x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:

• Bước 1: Tập xác định: . D ¡ Đạo hàm:

2 2 3 2 y ax bx c Ax Bx C       • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực …