Bài tập Toán Lớp 12 vận dụng cao Hàm đặc trưng - Phạm Văn Hoàn

Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 ®ường Hồ Tùng Mậu, Trang 1 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội. Điện thoại liên hệ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy

Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350

VẬN DỤNG CAO: HÀM ĐẶC TRƯNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Bài toán 1. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên khoảng

D . Khi đó, với mọi ,u v D Î sao cho ( ) ( ) f u f v u v = Û = .

Ví dụ1. Giải phương trình

2 1 3 1 2 2 1 2 3 1 x x x x x x - - - + - = + - -

 Xét hàm đặc trưng ( ) 2t f t t = +

TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: ( ) 2 .ln 2 1 0 t f t t ¢ = + > "

Do đó hàm sốluôn đồng biến trên ¡ .

 Từđềbài

2 1 3 1 2 2 1 2 3 1 x x x x x x - - - + - = + - - suy ra ( ) ( ) 2 1 3 1 f x f x x - = - -

2 1 3 1 x x x Û - = - -

2 4 0 x x Û - = 0

4

x

x

é = ê Û ê = ë

Bài toán 2. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và đồng biến trên khoảng D . Khi đó, với mọi ,u v D Î

sao cho:

 ( ) ( ) f u f v u v < Û <

 ( ) ( ) f u f v u v > Û >

Ví dụ2. Giải bất phương trình sau

2

2 5

2 log 4 3 0 2 3 x x x x x

- + - + £ - .

ĐKXĐ:

2 3 0 2 0 2 2 3 2

x x x x x

éê < < - ê > Û ê - > êë Khi đó, bất phương trình tương đương với

( ) ( ) 2 2 5 log 2 log 2 3 2 2 3 0 x x x x x x - - - + - - + £

( ) ( ) 2 2 5 5 log 2 2 log 2 3 2 3 x x x x x x Û - + - £ - + -

 Xét hàm đặc trưng ( ) 5 log f t t t = +

TXĐ: ( ) 0; D = +¥

Đạo hàm ( ) 1 1 0 0 .ln5 f t t t ¢ = + > " >

Do đó hàm sốđồng biến trên ( ) 0;+¥

 Theo bài ( ) ( ) 2 2 5 5 log 2 2 log 2 3 2 3 x x x x x x - + - £ - + - suy ra

( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 f x x f x x x x - £ - Û - £ -

2 4 3 0 1 3 x x x +

DeThi.edu.vn

Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 ®ường Hồ Tùng Mậu, Trang 2 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội. Điện thoại liên hệ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy

Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được tập nghiệm của bất phương trình là ( ] 3 1; 2;3 2 T ÷ ê = È ÷÷ ê ø ë

.

Bài toán 3. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và nghịch biến trên khoảng D . Khi đó, với mọi ,u v D Î

sao cho:

 ( ) ( ) f u f v u v < Û >

 ( ) ( ) f u f v u v > Û <

Ví dụ3. Cho x là sốthực thỏa mãn điều kiện 2

1 2 2

1 1 2 5 log 2 5 x x x x x x + + - + - ³ + - . Tìm giá trị

nhỏnhất của hàm số 3 3 y x x = - .

 Giải bất phương trình 2

1 2 2

1 1 2 5 log 2 5 x x x x x x + + - + - ³ + -

ĐKXĐ:

2 1 6 2 5 0 1 6 1 6 1 0

1

x x x x x x

x

ìéï >- + ïê ì ï ï + - > ïê ï >- + <- - êë + > î ï >- ïî Bất phương trình tương đương với:

( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 5 log 1 log 2 5 x x x x x x + - + - ³ + - + -

( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 log 2 5 2 5 log 1 1 x x x x x x Û + - - + - ³ + - +

 Xét hàm đặc trưng ( ) 1 2 log f t t t = -

TXĐ: ( ) 0; D = +¥

Đạo hàm ( ) 1 1 0 0 1 2 .ln 2

f t t t t ¢ = - < " >

Hàm sốnghịch biến trên khoảng ( ) 0;+¥

Do đó ( ) ( ) 2 2 2 5 1 2 5 1 f x x f x x x x + - ³ + Û + - £ +

2 6 0 3 2 x x x - -

Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm ( 1 6;2 S ù = - + úû

 Xét hàm số 3 3 y x x = - trên nửa khoảng ( 1 6;2ù - + úû

Đạo hàm ( 2 3 3 0 1 1 6;2 y x x ù ¢ = - = - + úû

Ta có ( ) 1 6 16 6 6 y - + =- + và ( ) 2 2 y =

Vậy

( 1 6;2 min 16 6 6 1 6 y x ù - + úû

=- + Û =- + .

DeThi.edu.vn