Bài tập Hình học không gian Lớp 12 - Hoàng Triều

HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh . Từ A kẻ và . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?

Phân tích - tìm lời giải AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC

Tính đường cao:

vuông tại B nên Giả thiết cho : AD là đường cao trong tam giác SAB Mặt khác : Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE:

Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có:

=

Diện tích tam giác ADE:

A

B

C

D

E

S

SA (ABC)  AD SB  AE SC 



ABC  AB BC  SA (ABC)  SA BC  BC (ABC)  AD BC 

AD SB  AD (SBC)  AD SC  AE SC  SC (ADE) 

2 2 2 2 AS.AB AS.AB a.c AD SB AS AB a c      

2 2

2 2 2 2 2 AS.AC SA.AC c. a b AE SB SA AC a b c

      

2 2 2 2 2 2

2 2 2 c (a b ) SE AS AE c a b c       

2

2 2 2 c

a b c  

DeThi.edu.vn

HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716

DE = =

S = =

=

Thể tích:

V = =

Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) BC (SAB) => DE // BC Pytago trong các tam giác vuông: SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2 SB2 = SA2+AB2 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2 Lập các tỷ số:

=>

=

=> = .

2 2 AE AD 

2 2

2 2 2 2 2 c .b

(a b c ).(a c )   

1.AD.AE 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 1 c .b ac . . 2 (a b c ).(a c ) a c    

3 3

2 2 2 2 2 1 a.c .b . 2 (a b c ).(a c )   

1 1 .SE. .AD.DE 3 2

3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 1 c 1 a.c .b . . 3 2 a b c (a b c ).(a c )     

2 4

2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (a c )(a b c )     





2 2

2 2 2 c SA AE

a b c  

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 SA AD SA AE . SA AB SA SB SC      

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

c .a c (a b ) c c a c c a b . a c c a b

         

4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 c b .c . (a c ) (c a b )    

3

2 2 2 2 2 SA SD SE b.c . . SA SB SC (c a b )(a c )    

SADE

SABC

V SA SD SE . . V SA SB SC 

3

2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )   

SADE V

3

2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )   

SABC V

DeThi.edu.vn

HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716

= . =

(đvtt)

Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh , góc . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC?

Trình bày lời giải:

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có: SA chung SB = SC => SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân Gọi D là trung điểm của BC ta có :

tan = => AD =

Diện tích đáy:

A

B

C D

S

3

2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c )   

1 1 .SA. .AB.BC 3 2

2 4

2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (c a b )(a c )   

SA (ABC)  · 0 BAC 120 



  

·CAD CD AD

· CD a 2. 3 tanCAD



2

ABC

1 a . 3 S AD.BC 2 4   

DeThi.edu.vn

HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716

SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD =

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:

SA2 = SD2 - AD2 = =>SA =

Thể tích cần tính:

V = = (đvtt)

Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ? Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau:

AD =

Diện tích tam giác:

SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD =

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:

SA2 = SD2 - AD2 = =>SA =

Thể tích cần tìm:

= =

(đvtt)

Bài 3

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?

a 3

2

2 2 2 3.a a 2a 4 12 3   a 2

3

ABC 1SA.S 3



3a . 2

36 

· 0 BAC (0 90 )  



· AD a 2.tan tanCAD

 

2

ABC

1 1 a a S AD.BC a 2 2 2.tan 4.tan       a 3

2

2 2 2 3.a a 2a 4 12 3   a 2

3

ABC 1 V SA.S 3

  1 1 1 .B.h .SA. .AD.BC 3 3 2 

3a 2 12 3.tan

2

DeThi.edu.vn