Bài tập Giải tích Lớp 12 Nguyên hàm - Tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 1

§1. NGUYÊN HÀM

I. Tính nguyên hàm bằng định nghĩa, tính chất A. Tóm tắt lý thuyết 1 . Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: , x  K

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

, C  R.

 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất







3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) 2)

3) 4)

5) ; 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18) (n 1)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

F'(x) f (x) 

f (x)dx F(x) C   

f '(x)dx f (x) C   

  f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx      

kf (x)dx k f (x)dx (k 0)    

k.dx k.x C   

n 1 n x x dx C n 1

    

2 1 1 dx C x x   

1 dx ln x C x   

n n 1 1 1 dx C (ax b) a(n 1)(ax b)       

1 1 dx ln ax b C (ax b) a     

sin x.dx cos x C    cos x.dx sin x C    1 sin(ax b)dx cos(ax b) C a     

1 cos(ax b)dx sin(ax b) C a     

2 2 1 dx (1 tan x)dx tan x C cos x      

2 2 1 dx (1 cot x)dx cot x C sin x      

2

1 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a      2

1 1 dx cot(ax b) C sin (ax b) a     

x x e dx e C   

x x e dx e C     

(ax b) (ax b) 1 e dx e C a

    

n 1 n 1 (ax b) (ax b) .dx . C a n 1

       

x x a a dx C ln a    2

1 dx arctan x C x 1    

2

1 1 x 1 dx ln C x 1 2 x 1       2 2 1 x dx arctan C x a a    

2 2 1 1 x a dx ln C x a 2a x a       2 1 dx arcsin x C 1 x

   

2 2 1 x dx arcsin C a a x

   

2

2 1 dx ln x x 1 C x 1

     

2 2

2 2 1 dx ln x x a C x a

     

2 2 2 2 2 x a x a x dx a x arcsin C 2 2 a      

DeThi.edu.vn

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 2

29)

***MÁY TÍNH: ;

Bài tập Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. B. C. D.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. B.

C. D.

Câu 3 : Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số

A. B.

C. D.

Câu 4 : Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số

.

A. B.

C. D.

Câu 5: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. B.

C. D.

Câu 6 : Cho hai hàm số , liên tục trên đoạn và số thực tùy ý. Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 7. Cho hàm số có đạo hàm là và thì có giá trị bằng

A. B. C. D. Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số

A. . B. . C. . D. .

2 2 2 2 2 2 2 x a x a dx x a ln x x a C 2 2        

0 ) ( )) ( (    X f x F dx

d

X x

( ) 7x f x 

7 7 ln 7 x x dx C   

7 7 ln 7

x x dx C   

1 7 7 x x dx C    

1 7 7 1

x x dx C x

    

( ) os2x f x c 

1 ( ) sin 2x +C 2 f x dx  

1 ( ) sin 2x +C 2 f x dx  

( ) 2sin 2x +C f x dx   ( ) 2sin 2x +C f x dx  

2 1 ( ) 2 F x x  ( ) f x

x ( )ln f x x 

2 2 ln 1 ( )ln 2 x f x xdx C x x            2 2 ln 1 ( )ln x f x xdx C x x     

2 2 ln 1 ( )ln x f x xdx C x x            2 2 ln 1 ( )ln

2 x f x xdx C x x     

3 1 ( ) 3 F x x  ( ) f x

x ( )ln f x x 

3 5 ln 1 ( )ln 5 x f x xdx C x x      3 5 ln 1 ( )ln 5 x f x xdx C x x     

3 3 ln 1 ( )ln 3 x f x xdx C x x      3 3 ln 1 ( )ln 3 x f x xdx C x x     

2 ( ) F x x  2 ( ) x f x e 2 ( ) x f x e 

2 2 ( ) 2 x f x e dx x x C     

2 2 ( ) x f x e dx x x C     

2 2 ( ) 2 2 x f x e dx x x C     

2 2 ( ) 2 2 x f x e dx x x C     

f g [ ; ] a b k

  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx   

( ) ( )

b b

a a kf x dx k f x dx    ( ) ( )

b b

a a xf x dx x f x dx   

( ) y f x = ( ) 1 ' 2 1 f x x = - ( ) 1 1 f = ( ) 5 f

ln 2. ln3. ln 2 1. + ln3 1. +  (2 ) x x f x e e  

2 xe x C   x x e e C    2 xe x C   2 2 xe x C  

DeThi.edu.vn