Chuyên đề trắc nghiệm Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian

I. Hệ tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục ' , ' , ' x Ox y Oy z Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Gọi , , i j k 

lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục ' , ' , ' x Ox y Oy z Oz .

Định nghĩa

Hệ gồm ba trục ' , ' , ' x Ox y Oy z Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1).

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng     , , Oxy Oyz Oxz đôi một vuông góc với nhau được gọi là các

mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz

Nhận xét:

2 2 2 1 i j k      

và . . . 0 i j j k k i      

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị , , i j k 

trên các trục Ox, Oy, Oz, cho

một vectơ u



. Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực   , , x y z sao cho

. . . u x i y j z k       

Bộ ba số thực   , , x y z thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u



đối với

hệ trục Oxyz.

Kí hiệu   ; ; u x y z  

hoặc   ; ; u x y z



, trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao

độ của vectơ u



.

Tính chất

Cho các vectơ     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; u u u u v v v v    

. Khi đó

a. 1 1 2 2 3 3 , , . u v u v u v u v       

b.   1 1 2 2 3 3 ; ; u v u v u v u v       

.

c.   1 2 3 . ; ; k u ku ku ku  

với mọi số thực k.

d. 1 1 2 2 3 3 . . . u v u v u v u v    

e. 2 2 2 1 2 3 u u u u    

f. Hai vectơ   ; 0 u v v 



có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi

1 1 2 2 3 3 0 u v u v u v   

g. Hai vectơ ,u v



cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao

cho . u kv   

3. Tọa độ của một điểm

Chủ đề I

Vấn đề cần nắm:

I. Lí thuyết về hệ tọa độ trong không gian II. Phương trình mặt phẳng III. Phương trình đường thẳng IV. Các dạng toán mặt cầu

DeThi.edu.vn

Nếu   ; ; x y z là tọa độ của vectơ OM



thì ta cũng nói   ; ; x y z là tọa độ của điểm M

với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2).

Kí hiệu   ; ; M x y z  hay   ; ; . M x y z

Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút

Trong không gian Oxyz cho hai điểm   1 1 1 ; ; M x y z và   2 2 2 ; ; N x y z thì khi đó tọa

độ của vectơ MN



và độ dài của nó là:

      2 2 2 2 1 2 1 2 1 MN x x y y z z      

5. Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Tích có hướng của hai vectơ u



và v



, kí hiệu ;u v     

là vectơ a



xách định bởi

i. a



có phương vuông góc với u



và v



ii. Bộ ba   , , u v a



là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không

giải thích vấn đề này)

iii. . .sin a u v     

, tỏng đó  là góc giữa hai vectơ u



và v



Định lý

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ   1 2 3 ; ; u u u u  

và   1 2 3 ; ; v v v v  

. Khi đó

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 ; ; ; ; ; u u u u u u u v u v u v u v u v u v u v v v v v v v              



Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ.

Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:

Ví dụ hai vectơ   1 2 3 ; ; u u u u  

và   1 2 3 ; ; v v v v  

ta viết tọa độ của hai vectơ song

song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.

Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng

  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; ; u v u v u v u v u v u v u v        

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx 570 VN Plus mà tôi đã giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:

1. Vào MODE  8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với vectơ).

2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành …