Đáp án đề thi chọn học sinh cấp huyện môn Toán Lớp 12 - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

http://toanhocmuonmau.violet.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LẠNG GIANG

MÔN TOÁN LỚP 12

NĂM HỌC 2014-2015

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

1, Cho hàm số ( ) 3 2 : 1 x C y x

− = − . Viết phương trình tiếp tuyến ( ) ∆ của đồ

thị hàm số (C ) biết ( ) ∆ cắt đường tròn có phương trình

( ) 2 2 2 25 x y − + = tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A

với A(6; 3) .

2,5 đ

( ) ( ) 2 2 ' : 2 25 C x y − + = suy ra ( )' C có tâm I(2; 0) và bán kính 5 R =

A(6; 3) ( )' C ∈

( ) ∆ cắt ( )' C tại hai điểm B, C thỏa mãn tam giác ABC vuông tại A ⇒ ( ) ∆

đi qua I(2; 0)

( ) ⇒∆ có PT dạng: ( ) 2 y k x = −

( ) ∆ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ PT sau có nghiệm

( )

( )

2

3 2 2 1 1

1

x k x x

k x

−  = −  −  −  = − 

Giải hệ PT trên tìm được 1 k = − và 9 k = −

Với ( ) 1 : 2 k y x = −⇒∆ = −+

Với ( ) 9 : 9 18 k y x = −⇒∆ = − +

Kết luận

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

2, Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 3 2 y x mx m m x m m = − + − − − − + có

hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị của hàm số trái dấu nhau.

2,5

Hoành đồ giao điểm của đồ thị hàm số

( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 : 2 2 3 2 m C y x mx m m x m m = − + − − − − + và trục hoành là

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn

nghiệm của PT:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 2

2 2

2 2

2 2 3 2 0 *

2 2 3 2 0

2

2 3 2 0 1

x mx m m x m m

x x m x m m

x

x m x m m

− + − − − − + =

⇔ − − − + − + =

=  ⇔ − − + − + = 

Hàm số ( ) m C có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị của hàm số trái dấu khi

và chỉ khi đồ thị hàm số ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT (*)

có ba nghiệm phân biết ⇔ PT (1) có 2 nghiệm phân biết khác 2

( ) 2 0

0

f ≠  ⇔∆>  ( ( ) (1) f x VT = )

2

2

5 10 0

3 8 4 0

2 2 3

m m

m m

m

 − + ≠  ⇔− + − > 

⇔ < <

Kết luận

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

1, Giải phương trình: 2 2 2sin 1 cos 2 4 3 6 x x π π     + = + +        

2đ

2 2 2sin 1 cos 2 4 3 6 x x π π     + = + +        

2 sin cos 3 6 x x π   = +    

(1)

Đặt 3 3 6 2 x t x t π π = + ⇒ = −

Khi đó PT (1) trở thành:

2 sin 3 cos 2 t t π   − =    

0,25

0,5

0,5

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn

( )

2

2 3cos cos

cos 4cos cos 3 0

cos 0

cos 1

3 cos 4

t t

t t t

t

t

t

⇔− =

⇔ + − =

  =  ⇔ = −   = 

Giải PT cos 0 t = ta suy ra x =

Giải PT cos 1 t = − ta suy ra x =

Giair PT 3 cos 4 t = ta suy ra x =

Kết luận

0,25

0,25

0,25

2, Giải bất phương trình: 2013 2015 2.2014 x x x + ≤ 2đ

2013 2015 2.2014 x x x + ≤

( ) 2013 2015 2 0 1 2014 2014

x x     ⇔ + − ≤        

Xét hàm số ( ) 2013 2015 2014 2014

x x f x     = +        

( ) 2013 2013 2015 2015 ' .ln .ln 2014 2015 2014 2014

x x f x     = +        

( ) ' 0 f x = có 1 nghiệm

( ) 0 f x ⇒ = có tối đa hai nghiệm

Mà ( ) ( ) 0 1 0 f f = =

( )

0 0 1

x f x x

=  ⇒ = ⇔= 

Hàm số ( ) f x liên tục trên ( ) ; −∞+∞

( ) ( ) lim lim x x f x f x →−∞ →+∞ = = +∞

Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) f x

( ) 2 0 1 f x x ⇒ ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết luận

0,5

0,5

0,5

0,5

DeThi.edu.vn