Xem trước nội dung
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM NĂM 2020
Thời gian làm bài: 270 phút.
Ngày thi thứ nhất (27/06/2020).
Bài 1.
Cho trước 2 n là số nguyên dương và dãy số nguyên dương 1 2 n a a a . Trong
các tập con của tập hợp {1,2, , } n , xét X là tập con sao cho i i i X i X a a
là nhỏ nhất.
Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương 1 2 0 n b b b sao cho
i i i X i X b b
.
Bài 2.
Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( ) O , có đường tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt ở , , . D E F Gọi , , K M N lần lượt là trung điểm các cạnh , , . BC CA AB
a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua , , D E F lần lượt song song với , , IK IM IN thì đồng quy.
b) Gọi , , T P Q lần lượt là điểm chính giữa các cung lớn , , BC CA AB của ( ). O Chứng minh rằng đường thẳng qua , , D E F và song song với , , IT IP IQ thì cũng đồng quy.
Bài 3.
Với số nguyên dương n cho trước, xét một giải bóng đá có 4n đội bóng được tổ chức thi đấu với nhau qua các lượt trận. Ở mỗi lượt trận, người ta chia 4n đội bóng thành 2n cặp thi đấu với nhau. Biết rằng sau giải đấu thì hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá 1 lần. Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất để có thể sắp xếp một lịch thi đấu gồm a lượt trận thỏa mãn điều kiện trên và sau a lượt thi đấu đó, với mọi cách chia các đội bóng thành 2n cặp thì luôn có ít nhất một cặp đã thi đấu với nhau.
DeThi.edu.vn
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM NĂM 2020
Thời gian làm bài: 270 phút.
Ngày thi thứ hai (28/06/2020).
Bài 4.
Với n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông (2 1) (2 1) n n và ban đầu, mỗi ô có tô màu trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, nếu số ô trắng ít hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô trắng; còn nếu số ô trắng nhiều hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô đen. Gọi a là tổng số ô đen, b là tổng số ô trắng và c là số ô được đánh dấu.
× × × ×
(Hình minh họa với bảng 3 3 , sau khi đánh dấu có 3, 6, 4 a b c )
Chứng minh rằng với trong mọi cách tô bảng ban đầu thì min{ , }
2
a b c .
Bài 5.
Tìm tất cả số nguyên dương k sao cho tồn tại hữu hạn số nguyên dương n lẻ thỏa mãn
| 1. n n k
Bài 6.
Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn ( ) O có các đường cao , , AD BE CF đồng quy tại trực tâm . H Gọi G là điểm đối xứng với O qua . BC Kẻ các
đường kính , EK FL theo thứ tự của các đường tròn ( ),( ). GHE GHF
a) Giả sử , AK AL lần lượt cắt , DE DF ở , . U V Chứng minh rằng UV song song với . EF
b) Gọi S là giao điểm hai tiếp tuyến của ( ) O ở , . B C Gọi T là giao điểm của , . DS HG Gọi , M N là hình chiếu của H lên các đường thẳng , . TE TF Chứng minh rằng , , , M N E F cùng thuộc một đường tròn.
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
