Bộ đề thi tự luận môn Toán - Dành cho học sinh Lớp 12 ôn thi Đại học - Cao đẳng

Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng

Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 1

ĐỀ 1 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: 4 2 2 3    y x x (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng y m  cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2 sin .sin 4 2 2 cos 4 3 cos .sin .cos2 6 x x x x x x          

2. Giải hệ phương trình:

   

 

2 2 2 3 8 1 , y 8 3 13

            

 x y y x x x x y y

.

Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I =

4

2 1

1 4

  

x

x x e dx x xe

.

Câu IV (1,0 điểm). Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c

và    0 BAC CAD DAB 60    .

Câu V (1,0 điểm). Chứng minh phương trình:   1 1

x xx x   luôn có nghiệm thực dương duy nhất. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 1 0 d x y   và đường tròn 

2 2 : 2 4 0 C x y x y     . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai

đường thẳng tiếp xúc với đường tròn  C tại A và B sao cho  0 60 AMB  .

2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm       ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; A a b c với a, b, c là các

số dương thay đổi và thỏa mãn 2 2 2 3 a b c    . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O  0;0;0 đến mặt phẳng   ABC đạt giá trị lớn nhất.

Câu VII a (1,0 điểm). Tìm , a b để phương trình 2 0 z az b    có nhận số phức 1 z i  làm nghiệm. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol 

2 : P y x  . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm     A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường

thẳng d: 1 1 2 1 2 x y z      . Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam

giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

www.MATHVN.com

MATHVN.COM - Toán học Việt Nam

DeThi.edu.vn

Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng

Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 2

Câu VII b (1,0 điểm). Giải phương trình:

     

2 3 2 2 4 2 4 2 4 1 2 2 2

1 log 1 log 1 log 1 log 1 3 x x x x x x x x           .

BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳngy = m và đồ thị (C):

4 2 x 2x 3 m     4 2 x 2x 3 m 0 1    

Đặt   2 t x t 0   .Phương trình trên thành:  2t 2t 3 m 0 2   

Gọi 1 2 3 4 x ,x ,x ,x lần lượt là hoành độ các giao điểm M, N, P, Q.

Khi đó 1 2 3 4 x ,x ,x ,x là nghiệm của phương trình (1). Dựa vào đồ thị , ta thấy với điều kiện: 4 m 3   thì phương trình (2) có hai nghiệm là: 1 2 t 1 m 4 ; t 1 m 4     .

Suy ra 1 2 2 1 3 1 4 2 x t , x t , x t , x t    

Ta có 4 3 3 2 3 MN PQ x x , NP = x x 2x     

Để ý rằng: Điều kiện để ba số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một  là:

a b c

b c a

c a b

        

.

Vì MN PQ  nên để MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ nên ta chỉ cần:

  4 3 3 4 3 2 2 2 2 MN PQ NP PQ NP x x x x x         

hay   2 1 2 1

3 91 t 2 t t 4t 1 m 4 4 1 m 4 m 4 m 5 25             

Kết hợp với điều kiện : 4 m 3   ta được: 91 m 3 25    .

Câu II 1. Ta có:

sin .sin 4 2 2 cos 3 cos .sin 4 6 x x x x x          

  sin 4 sin 3 cos 2 2 cos 6 x x x x           

  sin 4 . sin sin cos cos 2 cos sin 4 2 cos 0 6 6 6 6 x x x x x x                              

www.MATHVN.com

MATHVN.COM - Toán học Việt Nam

DeThi.edu.vn