Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 6

ĐỀ SỐ 1

Bài 1.(5,0 điểm). Câu 1. Tính. a) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22...2

b) B = + + + ... + +

Câu 2. Cho C = + + + ... +

Chứng minh rằng : C >

Bài 2. ( 3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 b) x + 2x + 3x + ... + 99x + 100x = 15150 Bài 3.( 6,0 điểm). Câu 1: Chứng minh rằng :

a) A = 75.( 41975 + 4 1974 + ... + 42 +5 ) + 25 chia hết cho 41976

b) B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiên.

Câu 2. Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên.

Bài 4.( 4,0 điểm ).

a) Cho 2016 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm . Em hãy tính số giao điểm của 2016 đường thẳng đó. b) Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. Bài 5. ( 2,0 điểm ) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4.

ĐÁP ÁN Bài 1. (5,0 điểm). Câu 1. (3,0 điểm)

50 chữ số 2

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Điểm a) (1,5 điểm) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22 ... 2

= 2. ( 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11... 1 )

9A = 2.( 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 ... 9 )

9A = 2.

= 2.

= 2. ( 11 ... 10 – 50)

= 2. 11 ... 1060 = 22 ... 2120

Suy ra A = 22 ... 2120 : 9

b) ( 1,5 điểm )

B = + + + ... + +

2B = + + + ... + +

= - + - + - + ... + - + -

= -

=

Suy ra B = : 2 =

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0, 5

0,25

0,25

0,25

Câu 2.( 2,0 điểm )

50 chữ số 2

50 chữ số 1

50 chữ số 9

50 chữ số 1

48 chữ số1 48 chữ số 2

48 chữ số 2

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

C = ( + + ... + ) + ( + + ... + ) + ( + + ... + ) +( +

+ ... + )

C . 25 + . 25 + .25 + 25

C > + + + = ( + + +

C > + > + =

0,50

0,50

0,50

0,50

Bài 2: ( 3 điểm )

a) (1,5 điểm)

1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 Tính tổng : 1 + 2 +3 +4 +...+ x Vì các số hạng của tổng là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến x nên số số hạng của tổng là:( x – 1) : 1 + 1 = x ( số hạng ) Vậy tổng trên là: ( x + 1).x : 2

Theo bài ra ta có 1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 nên ( x + 1).x : 2 = 820

( x + 1 ).x = 2. 820 ( x + 1 ).x = 23.5.41 ( x + 1 ).x = 40.41

Vì x và x + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà x < x + 1 nên x = 40 và x + 1 = 41

Vậy x = 40

b) (1,5 điểm) x + 2x + 3x + ... + 99x + 100x = 15150 ( 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100).x = 15150

[ ( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ... ( 50 + 51) ].x = 15150

( 101 + 101 + 101 + ... + 101).x = 15150

0,25

0,25

0,50

0,25

0,25

0,50

0,25

0,25

Có 50 cặp sốhạng

Có 50 số hạng

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

101.50.x = 15150

5050x = 15150 x = 3 Vậy x = 3.

0,25

0,25

Bài 3: ( 6,0 điểm) Câu 1. ( 4,0 điểm )

a) (2,0 điểm) Đặt M = 41975 + 4 1974 + ... + 42 +5 = 41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1 4M = 4.( 41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1) = 41976 + 4 1975 + ... + 43 + 42 + 4

4M – M = ( 41976 + 4 1975 + ... + 43 + 42 + 4) – (41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1)

3M = 41976 – 1

M = (41976 – 1): 3 => A = 75. (41976 – 1): 3 + 25

= 25. (41976 – 1) + 25

= 25. 41976 - 25 + 25

= 25. 41976 chia hết cho 41976

b) (2,0 điểm) B = 10n + 72n – 1 = 10n – 1 – 9n + 81n = 99 ... 9 – 9n + 81n

= 9. ( 11 ... 1 – n) + 81n

Theo dấu hiệu chia hết cho 9 thì chỉ có những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Nên số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 9. Suy ra ( 11 ... 1 – n ) chia hết cho 9

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0, 50

0,25

0,50

0,25

n chữ số 9

n chữ số 1

n chữ số 1

DeThi.edu.vn