Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - UBND huyện Vĩnh Yên

UBND HUYỆN VĨNH YÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Bài 1: (3 điểm)

a. Cho là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3. b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65.

Bài 2 : (3,0 điểm)

Tìm số tự nhiên x biết: a. 2029099 2010) (x 2) (x 1) (x x          b. 210 2x 8 6 4 2        c. (x - 2)6 = (x – 2)8

Bài 3: (6,0 điểm) a. Tìm n biết: 5n + 7 chia hết cho 3n + 2 b. Chứng minh rằng: Nếu 8p – 1 và p là các số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số c. Chứng minh rằng 2011 10 8  chia hết cho 72.

Bài 4: (4 điểm)

Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1h 5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ 2 quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ 3 quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ 2 trong ngày và lúc đó là mấy giờ

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì 2

CB CA CM  

b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì 2

CB CA CM   .

ababab

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: ( 3 điểm)

a)- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . 0,75

- Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3.

0,75

Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 5. 126 + 52.126 + 53.126  5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.

0,50

S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

0, 25

Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.  5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . 0,25

S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

0,25

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 0,25

Bài 2 : (3,0 điểm) a)-  2029099 2010 2 1 2011x      

-  2029099 2

2011 . 2010 2011   x 0, 5

-  2

2011 . 2010 - 2029099 2011  x

-          2011 : 2

2011 . 2010 - 2029099 x 4 0,50

b)  210 x) 3 2 2(1       0,50

-  210 2

)1 ( 2   x x

-  210 )1 (   x x 0,5 - Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) c)  ( x – 2 ) 8 – ( x – 2) 6 = 0 0,5  ( x – 2 )6[(x-2)2 – 1] = 0  x-2 = 0 hoặc x -2 =1 0,5  x = 2 hoặc x = 3

Bài 3: (6,0 điểm) a) 3(5n + 7) – 5( 3n + 2) chia hết cho 3n + 2 0,50  11 chia hết cho 3n + 2 0,50  3n + 2 = 1 hoặc 3n + 2 = 11 0,50

DeThi.edu.vn

n = 3 0,50 Nếu p = 3k mà p nguyên tố  p= 3  8p + 1 = 25 là hợp số 0,50 Nếu p = 3k +1 mà 8p + 1 = 24k + 9 = 3(8k +3)  8p + 1 là hợp số 0,50 Nếu p = 3k +2 mà 8p - 1 = 24k + 15 = 3(8k +5)  8p - 1 là hợp số ( vô lý) 0,50 Vậy 8p – 1 là hợp số. 0,50 c) Vì 2011 10 8  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 0,75 Lại có 2011 10 8  có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 0,75 Vậy 2011 10 8  chia hết cho 72 0,50

Bài 4: ( 1,5 điểm) - Gọi a là thời gian để 3 xe cùng xuất phát tại bến lần thứ 2 tại bến 0,50 a là BCNN (75,60,50) 0,25 Tìm được BCNN (75,60,50) = 300 (phút) = 5 giờ. 0,50 Sau 5h 3 xe lại cùng xuất phát. Lúc đó là 11h 0,25

Bài 5: (4,0 điểm)

0,50 CA = MA + CM 0,50 CB = MB – CM 0,25 Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50

 2

CB CA CM   0,25

0,50

CA = CM + MA 0,50 CB = CM – MB 0,25 Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50

 2

CB CA CM   0,25

A B M C

A B M C

DeThi.edu.vn