Đề thi học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2011-2012

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2011 - 2012

Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

-----------------------------

Bài 1: ( 2 điểm)

1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:

A =

2. Thực hiện phép tính:

B =

Bài 2: (2 điểm)

Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M.

Bài 3: ( 2 điểm )

1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :

n + 5 n – 2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :

(2x + 1)(y – 3) = 10

Bài 4: ( 3 điểm)

1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm

của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = .

2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.

Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A

-------------------------------

2010.2011 1005 2010.2010 1005

 

                  99

2 1 ... 5 2 1 3 2 1 33



2 a

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: ( 2 điểm)

1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:

A = =

=

2) Thực hiện phép tính:

B = = 33. . = 33. =

Bài 2: (2 điểm)

Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 22 + 23 + … + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)

= 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15. 2(1 + 24 + …+ 216) = 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216) 5

b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M 2 ; M 5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M 10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.

Bài 3: ( 2 điểm )

1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7 n – 2 7 n – 2 n – 2 Ư(7) = n – 2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5

Vậy : n

2) Ta có x , y N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2

Do đó : hoặc

Suy ra : hoặc

Bài 4: ( 3 điểm)

2010x 2011 1005 2010x 2010 1005

 

2010x (2010 1) 1005 2010x 2010 2010 1005 2010x 2010 1005 2010x 2010 1005        2010x 2010 1005 1 2010x 2010 1005

  

                  99

2 1 ... 5 2 1 3 2 1 33 3 1

99 97 ... 7 5 . 5 3

99

1

3 1



  

       7 ; 1  

  5 ; 9 ; 1 ; 3 



  

 

 

10 3

1 1 2

y

x

  

 

 

2 3

5 1 2

y

x

  

 

13 0 y x

  

 

5 2 y x

DeThi.edu.vn

1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = .AC

N là trung điểm của CB nên : CN = NB = .CB

Suy ra : MC + CN = ( AC + CB )

C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N MC + CN = MN C nằm giữa A và B AC + CB = AB = a

Do đó : MN = .

2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)

SBDH = SDBA (= SABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)

Do đó : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC .

Bài 5 (1 điểm)

Rút gọn A ta có:

A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)

= (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1)

= [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1)

= (24-1).(24+1).(28+1).(216+1)

= (28-1).(28+1).(216+1)

= (216-1)(216+1)

= 232 - 1

Biết 232 tận cùng là 2  A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS)

2 1

2 1

2 1

 

2 a

2 1

DeThi.edu.vn