Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

ĐỀ THI HSG TOÁN 6

Thời gian 120 phút

Câu 1( 4 điểm).

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3

Câu 2 (4 điểm).

a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6.

Tìm số a biết 100 < a < 200

Câu 3 ( 4 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .

2. Cho

a) Chứng minh x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1

b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Câu 5. (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của

đoạn thẳng OD

………….Hết………….

y

N   

34x5y

x x x x x 6 3 2 1       







DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a) (1,5 đ)

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

=> 3A = 32 + 33 + 34 +………3100 + 3101 => 3A – A = 3101 – 3

=> A =

2

Câu 1

(4,0 đ)

b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3

vì = 3 => y = 3

B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3

2

a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12

Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12 Mà ( 11a + 2b) 12 => ( a + 34b) 12

0,5 0,5

Câu 2 (3,5đ)

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có

* *

* *

Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3;

4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200

Vì khi chia a cho 5,7,11 có số dư lần lượt là 3,4,6 => a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6 => 2a - 1 BC (5; 7; 11) Tìm được a = 193

1,0

0,5

0,5 0,5

0,5 Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9 chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) chia hết cho 4 khi 4 => y = 2 hoặc y = 6 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9 Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu 3

(3,0 đ)

2. Cho

2

3 3101 

y

y 

N   

 

 

  

     

 

 

6 4 7 1

1 3

y x y x

  

     

 

 

0 10 1 1

7 3

y x y x

  

 

    

  

  

8

2

7 1

1 3

y

x

y

x

  

 

     

  

  

2

4

1 1

7 3

y

x

y

x



34x5y 34x5y

34x5y  

34x5y  5y

 

x x x x x 6 3 2 1       

DeThi.edu.vn

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a) Chứng minh x 0

Vì =>

=> 6x => x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Vì x 0 =>  x + x+1+x+2 = 6x

 3x - 6x = -3  x = 1 (t/m)

0,5

0,5

0,5

0,5

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1

Ta có: n2 – n – 1 n – 1  n(n-1) – 1 n – 1

=> -1 n – 1 => n – 1 => n

0,5

0,5

Câu 4

(2,0 đ)

b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1 => 3(2n+1) – 2(3n+1) d => 1 d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = 1

0,5 0,5

O A B D x

Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm . Vì 2cm < 4cm => OA < OB nên A nằm giữa O và B

0,5

0,5

Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB

 2 + AB = 4 => AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm

0,5

0,5

Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm

Nên A là trung điểm của OB

0,5

0,5

5

Ta có BD = 2 . BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1)

Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D => OB + BD = OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD

0,5

0,5



0 2 ;0 1 ;0      x x x 0 3 2 1        x x x x

0  



 x x x x x 6 3 2 1       



 

   1;1    2;0

 

DeThi.edu.vn