12 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án)

www.thuvienhoclieu.Com

1

12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6

ĐỀ 1 Câu 1. ( 2,0 điểm)

Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.

Câu 2. ( 1,0 điểm)

Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27.

Câu 3. ( 1,5 điểm)

Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Câu 4. ( 1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên

tố.

Câu 5. ( 1,5 điểm)

a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng

nhau.

b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó

trong khoảng từ 300 đến 440.

Câu 6. ( 1,0 điểm)

Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6.

Câu 7. ( 2,0 điểm)

Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao

cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

a. Tính BD.

b. Biết .

c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.

· · · BCD ,BCA . TínhACD = = 0 0 85 50

DeThi.edu.vn

www.thuvienhoclieu.Com

2

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Câu Đáp án Điểm

A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221. Nên A.2 - A = 221 -2  A = 221 - 2

0,5

0,5 Câu 1

(2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 ... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2. Vậy A có tận cùng là 2.

0,5

0,5

Câu 2.

(1,0 điểm)

Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. 0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

(1,5 điểm)

Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau:

TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5.

TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1

 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5.

TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2

 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5.

TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3

 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5.

TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4

 n +1= 5k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5.

Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

(1,0 điểm)

Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq + 11 > 2)

DeThi.edu.vn

www.thuvienhoclieu.Com

3

 pq là số chẵn  ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2.

+ Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) q > 3 có 1 số là hợp số.  p = 2 và q = 3.

+ Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3. Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2.

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5

(1,5 điểm)

a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - 1 d.  8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d  31 d  d = 1 hoặc 31. Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31. Mà 7n + 3 31  7n + 3 - 31 31 7(n - 4) 31

 n – 4 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)  n = 31k + 4( với k là số tự nhiên) Do đó d ≠ 31 n ≠ 31k + 4. Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyên tố cùng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là số tự nhiên). b) Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b  N* , a > b)

Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, qN*và k, q nguyên tố cùng nhau. Ta có : a - b = 84  k - q = 3 Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k <16. Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. nên q = 11và k = 14. Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6

(1,0 điểm)

xy – 2x - y = -6 (x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyên, ta có

bảng:

x - 1 -1 1 -2 2 -4 4

y - 2 4 -4 2 -2 1 -1

x 0 2 -1 3 -3 5

y 6 -2 4 0 3 1

Vậy các số x, y thỏa mãn là: ( x,y) {( 0;6); (2;-2); (-1;4)…}

0,5

M M

M M

M M M M

DeThi.edu.vn