Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Lê Công Minh (Có đáp án)

Thầy : Lê Công Minh . sdt : 0961462275

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Toán lớp 6 Năm học 2018-2019

Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 :(5 điểm )

1. Thực hiện phép tính

a) (

2

11.13 +

2

13.15 + ⋯+

2

19.21) . 462 −[2,04: (1,95 + 1,05)]: 0,12

b)

5

6 + 6

5

6 (11

5

20 −9

1

4) : 8

1

3

2. Hỏi có bao nhiêu số nguyên n để −2018 ≤?≤2019 và phân số

?2+2

?+9 chưa tối giản ?

Câu 2 : (5 điểm )

1. Tìm số nguyên x,y sao cho : ?2 + ?= 32019?+ 1

2. Chứng tỏ rằng:

1

3 +

2

32 +

3

33 + ⋯+

2018

32018 +

2019

32019 <

3

4

Câu 3 :(3 điểm )

1. Tìm số nguyên dương n để ?2 + 2?+ 2007 là số chính phương 2. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 hãy cho biết ?2 + 2018 là hợp số hay số

nguyên tố Câu 4 :(5 điểm) Cho tam giác ABC ,??? ̂ = 600. Lấy trên cạnh BC điểm D bất kỳ nối A với D sao cho ??? ̂ = 400.

1. Tính góc ADC (biết rằng tổng các góc trong tam bằng 1800)

2. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KB = 2.BD, biết CD =

1

2KC và

BC = 8cm . Tính độ dài KB,KC 3. Điểm D có thể chạy trên BC. Tìm các vị trí của D để độ dài CK là lớn nhất

và nhỏ nhất

Câu 5 : ( 2 điểm) Hỏi biểu thức ?4 + ?4 + ?4 trong đó x,y,z là các phân số dương có thể lấy giá trị 2020 không ?

DeThi.edu.vn

Thầy : Lê Công Minh . sdt : 0961462275

Hướng dẫn

Câu 1 :

1. HS tự giải

2. Ta có

?2+2

?+9 =

?2−81+83

?+9 = ?−9 +

83

?+9 nhận thấy 83 là số nguyên

tố vì vây để phân số trên chưa tối giản thì n+ 9 = 83k hay n = 83k – 9 mà theo bài ra ta có : -2018 < 83k – 9 < 2019 suy ra -24,2 < k < 24,4 vì k là số nguyên nên k =±24, ±23, … . .0 vậy có tất cả 49 số nguyên n để phân số không tối giản

Câu 2 :

1. a) Xét y < 0 thì vế phải không nguyên vế trái nguyên ( vô lý ) b) Xét y ≥1 thì vế phải là 1 số chia hết cho 3 dư 1. Vì x nguyên nên x có dạng

là 3k ,3k+1 ,3k+2. Do đó vế trái sẻ là x(x+1) khi đó nhận thấy với x = 3k và 3k + 2 thì vế trái chia hết cho 3 dư 0. Còn khi x = 3k+1 thì vế trái chia cho 3 dư 2 ( vô lý với vế phải) pt vô nghiệm c) Xét y = 0 lúc này phương trình trở thành ?2 + ?= 1 + 1 ↔?(?+ 1) =

1.2 = (−2). (−1) suy ra x = 1 và x = -2 vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên (x ; y) = (1;0),(-2;0) 2. Nhận thấy rằng :

? 3?= 1

4 (2?+ 1

3?−1 −2?+ 3

3? )

Thay n = 1,2,3 …..2019 ta có dãy số sau

1 3 = 1

4 (3 −5

3)

1 32 = 1

4 (5

3 −7

32)

1 33 = 1

4 ( 7

32 −9

33)

… … … … … .. 2018 32018 = 1

4 (4037

32017 −4039

32018)

DeThi.edu.vn

Thầy : Lê Công Minh . sdt : 0961462275

2019 32019 = 1

4 (4039

32018 −5001

32019)

Cộng vế theo vế ta được VT =

1

4 (3 −

5001

32019) <

3

4 (đpcm)

Câu 3 :

1. Ta có n2 + 2n + 1 + 2006 = (?+ 1)2 + 2006 = ?2 ( vì là số chính phương)

Từ đó ta có (?−?−1)(?+ ?+ 1) = 2006 .(1)

Ta nhận thấy t + n + 1 – ( t – n – 1 )= 2n + 2 là số chẳn vì vậy t + n + 1 và t – n – 1 có tính cùng chẳn hoặc cùng lẻ. do vậy ta xét các trường hợp sau

TH1 : t + n + 1 và t – n – 1 cùng lẻ suy ra (?−?−1)(?+ ?+ 1) =số lẻ trái với (1)

TH2 : t + n + 1 và t – n – 1 cùng chẳn suy ra (?−?−1)(?+ ?+ 1) ⋮4 mà 2006 lại không chia hết cho 4 suy ra (1) vô lý

Vậy ko có giá trị nào của n thõa mãn bài ra

2. Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên nó có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ta có :

TH1: Với n = 3k + 1 thì (3k + 1)2 + 2018 = 9k2 + 6k + 2019 = 3 (3k2 + 2k + 673)⋮3

Suy ra n2 + 2018 là hợp số

TH2 : Với n = 3k + 2 thì (3k + 2 )2 + 2018 = 9k2 + 12k + 2022⋮3 suy ra n2 + 2018 là hợp số . vậy với n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 + 2018 là hợp số.

Các bạn học sinh có thể làm cách 2 bằng pp đồng dư thức như sau

Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên

TH1 : ?≡1 (??? 3) →?2 ≡1(??? 3 )

Mà 2018 ≡2(??? 3 ) →?2 + 2018 ≡3(??? 3) ≡0(??? 3) →?2 + 2018 ?à ℎợ? ?ố

DeThi.edu.vn