Bồi dưỡng học sinh giỏi về Số học Lớp 6 - Chuyên đề Số chính phương

Chuyên đề : Số chính phương

- 1 -

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VỀ SỐ HỌC

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. Định nghĩa:

Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. A : là số chính phương thì A = k2 (k N) II. Tính chất:

1) Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng: 0;1; 4; 5; 6; 9; không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8. 2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chức các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.

Chứng minh: Giả sử A = k2 và k = ax.by.cz… (a; b; c; … là các số nguyên tố) thì A = (ax.by.cz…)2 = a2x.b2y.c2z… (đpcm) Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a. Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 b. Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 c. Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25 d. Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16 e. Tích của các số chính phương là một số chính phương f. A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương. 3) Số lượng các ước của một số chính phương là lẻ. Ngược lại, một số có số lượng các ước là lẻ thì số đó là số chính phương

Chứng minh: Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = ax.by.cz… thì số lượng các ước của A là (x+1)(y+1)(z+1) …

a) Nếu A là số chính phương thì x; y; z; … là các số chẵn, nên x+1; y+1; z+1; … là lẻ, do đó số lượng các ước của A là lẻ.; b) Nếu số lượng các ước của A là lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1) … là lẻ

Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1; … đều là số lẻ, Suy ra x; y; z; … là các số chẵn. Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’; … (x’; y’; z’;… N) thì

A = (ax’by’cz’…)2 neân A laø soá chính phöông (ñpcm) 4) Neáu soá A bao haøm giöõa bình phöông hai soá töï nhieân lieân tieáp thì A khoâng theå laø số chính phương. Nghóa laø : neáu n2 < A < (n+1)2 thì A khoâng laø số chính phương. III. Caùc kieán thöùc lieân quan:

1. Nếu mỗi số hạng của một tổng (hoặc hiệu) chia hết cho một số thì tổng (hoặc hiệu) đó chia hết cho số đó. 2. Số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2

Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 Số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 Số có chữ số tận cùng chia hết cho 5 thì số đó chia hết cho 5 Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25





DeThi.edu.vn

Chuyên đề : Số chính phương

- 2 -

k chữ số 0

k chữ số 0 k chữ số 0 k chữ số 0

Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9 3. Dấu hiệu chia hết cho 11

Cho A =

A 11 (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …) 11 IV. Các dạng bài tập thường gặp: Dạng 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không: Ví dụ 1: Cho số chính phương n2 , tìm các số chính phương biết

n 

Giải Ta có 112 = 121 1012 = 10201 10012 = 1002001 100012 = 100020001 1000012 = 10000200001 10000012 = 1000002000001 ………… Tổng quát

Ví dụ 2: Các tổng sau có phải là số chính phương không ?

a) A = 3 + 32 + 33 + … +320 b) B = 11 + 112 + 113 c) C = 1010 + 8 d) D = 100! + 7 e) E = 1010 + 5 f) F = 10100 + 1050 + 1

Giải a) Ta có 3n 9 với mọi n  2 nên 32 + 33 + … +320 9

Suy ra A = 3 + 32 + 33 + … +320 chia cho 9 dư 3 Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương (t/c 2) b) Ta có B = 11 + 112 + 113

= 11.(1 + 11 + 112) = 11.(1 + 11 + 121) = 11.133 = 1463 Có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương (t/c 1) c) Ta có 1010 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương (t/c 1) d) Ta có 100! + 7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương (t/c 1) e) Ta có 1010 + 5 có chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương (t/c 2)

0 1 2 3 4 5 a a a a a a ...

  

  

  

   01 ... 100 ;...; 1000001 ; 100001 ; 10001 ; 1001 ; 101 ; 11

         01 ... 00 2 0 ... 100 01 ... 100

2 

 

DeThi.edu.vn