Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7

HỌC SINH GIỎI

Bài 5 (0,5 điểm): Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức 8

3 x B x

   có giá trị

nhỏ nhất.

Biến đổi 8 5 1 3 3 x B x x      

B nhỏ nhất 5

3 x   nhỏ nhất

Xét 3 à ét 3 x v x x   ta được 5

3 x  có giá trị nhỏ nhất bằng -5 tại x = 2

KL: Giá trị nhỏ nhất của B bằng -6 tại x =2

Bài 5 ( 0.5 điểm)

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

2 2 25 8( 2016) y x    .

Ta có:

2 2 25 y 8(x 2016)     8(x-2016)2+y2=25(*)

Vì y2 0 nên (x-2016)2 25

8  , suy ra (x-2016)2 = 0 hoặc (x-2016)2 =1

+) Với (x -2016)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

+) Với (x- 2016)2 = 0 hay x = 2016 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 hoặc y = -5 (do

y¢ )

Câu 5 (0,5 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca.

Bài 4 (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x;y) sao cho: 3x + 4y – xy = 15

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7 8 2 3 n n

  đạt giá trị lớn nhất.

Vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử a b c   khi đó 3 3 2 2 ab bc ca bc abc bc a a          ( vì a là số nguyên tố )

Với a = 2 ta có2 2 2 2( ) 4 bc b c bc bc b c c        2 4 3

b b b

      - Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả mãn với c là nguyên tố bất kì - Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5 Vậy các cặp số (a, b, c) cần tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , với p là số nguyên tố .

Ta có    

2 7 8 7 8 7 7 14 16 7 5 . . 1 2 3 2 7 2 3 2 14 21 2 14 21 n n n n n n n                 

DeThi.edu.vn

Bài 5 ( 0.5 điểm)

Cho A = x2014 - 2013x2013 - 2013x2012 - 2013x2011 - …- 2013x + 1. Tính giá trị của A khi x = 2014.

Bài 5 (1 điểm).

Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn ab bc ac a b b c a c     .Tính giá trị của biểu thức

P = 2 2 2 ab bc ca a b c    

Do ab bc ac a b b c a c      và a,b,c khác 0 nên:

(1) a c a b b c    và a b a c b c   (2)

+) Từ (1) ta có: ab+ac = ac + bc  ab = bc a=c +) Từ (2) ta có: ab + ac = ab + bc ac=bca=b Vậy a=b=c nên P =1

Bài 5 ( 0.5 điểm)

Tìm x, y biết: 2015 2016 2017 2018 3         x x y x

Ta cã

2015 2015; 2018 2018 2018

2015 2018 2015 2018 3

2015 2018 3

       

        

    

x x x x x

x x x x

x x Mà 2015 2016 2017 2018 3         x x y x Nên ta có 2016 2017 0     x y mà 2016 2017 0     x y

2016 2017 0 2016 0         x y x và 2016 2017 0 2017

      

x y y

Câu 5. (0,5 điểm) Cho ba đa thức: A = 2 3 2 2z x y   ; B = 2 2z 4 x y   ; C = 2 4 5z 3 y x   với

, , x y z là các số khác 0. Chứng minh rằng trong ba đa thức trên có ít nhất một đa thức có giá trị âm.

Ta có: A = 2 3 2 2z x y   ; B = 2 2z 4 x y   ; C = 2 4 5z 3 y x  

Nên A + B +C = 2 3 2 2z x y   + 2 2z 4 x y   + 2 4 5z 3 y x   = 2 2 2 2 5z x y   

3 2

8 7

  n n lớn nhất khi 5 14 21 n  lớn nhất 14 21 0 n    và 14n – 21 có giá trị nhỏ

nhất 21 3 14 2 n    và n nhỏ nhất  n = 2

DeThi.edu.vn

Chỉ ra với , , x y z 0  thì 2 2 2 2 5z x y    <0

 A + B + C < 0  Trong ba đa thức A, B, C có ít nhất một đa thức có giá trị âm ( ĐPCM)

Bài 5 (0,5 điểm)

Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 3 2 4 4 8 2 4 x x y z    

Ta có : 2 3 2 , , ê 4 4,4 4, 8 4, 4 4 2 4 2 x y z n n x x y z z    ¢ M M M M M M Khi đó :   2 3 2 3 2 4 4 8 2 4 1 8 2 x x y z x x y z        chia hết cho 8, mà 4 không chia hết cho 4 nên không có x, y, z nguyên thỏa mãn

Câu 5. (1 điểm): Cho P = 2 3 2 3 x y z x y z    

Tính giá trị của P biết các số x; y; z tỉ lệ với 5; 4; 3

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a 3c 2016; a 2b 2017     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c    Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2) Từ (1)  a = 2016 – 3c

Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1  b = 1 3c

2 

Khi đó:

P = a + b + c = (2016 – 3c) + 1 3c

2  + c = 1 6c 3c 2c 1 c 2016 2016 2 2 2 2              . Vì a, b, c

Theo bài ra ta có: 5 4 3 x y z   (1)

2 3 2 3 5 4 3 4 6 x y z x y z x y z    …