Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề số 1

Đề số 1 (120 PHÚT)

Câu 1: (4,5 điểm).

1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A =

b) B =

2. Cho . Tính giá trị biểu thức: C =

Câu 2: (4,5 điểm)

1. Tìm các số x, y, z, biết:

a) và x + y + z = 92

b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0

2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6

Câu 3: (3,0 điểm)

1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2

2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a).

a) Tìm a

b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x)

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.

Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:

a) BE = CD

b) BDE là tam giác cân

c) và IA là tia phân giác của

Câu 5: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + …….+ 3x+100 chia hết cho 120 ( với x Z)

Hết

3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                 

12 5 6 2

2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3 



x y 3 5 

2 2

2 2 5x 3y 10x 3y 



x y y z ; 2 3 5 7  

· 0 EIC 60  ·DIE

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN

Câu 1: 1.

a) A = =

A = = =

b) B = = =

B =

2. Đặt = k . Khi đó:

C = = = 8

Câu 2: 1.

a) Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được:

=

b ) Ta có: (x – 1)2016 0 x

(2y – 1)2016 0 y

|x + 2y – z|2017 0 x, y, z

(x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0 x, y, z

Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra

3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                 

3 4 11 4 7 11 . . 7 11 7 7 11 7                 

11 3 4 4 7 7 7 11 7 11                      

11 3 4 4 7 7 7 7 11 11                         11 11 ( 1) 1 .0 0 7 7    

12 5 6 2

2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3 



12 5 2 6 2 2 12 5 12 4

12 6 3 4 5 12 6 12 5 2 .3 (2 ) .(3 ) 2 .3 2 .3 2 .3 (2 ) .3 2 .3 2 .3     

12 4

12 5 2 .3 (3 1) 2 .3 (3 1)

 

12 4

12 5 2 .3 .2 1 2 .3 .4 6 

x y 3 5  x 3k y 5k    

2 2

2 2 5x 3y 10x 3y 



2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k      

x y x y

x y z 2 3 10 15 y z y z 10 15 21 5 7 15 21

                     

x y z 10 15 21   x y z 92 2 10 15 21 46      

x 2 10 x 20 y 2 y 30 15 z 42 z 2 21

                  

 

 

 

  



 

 

2016

2016

2017

x – 1

2y – 1

x

0

2y – z

0

0

  



     

DeThi.edu.vn

2

2

1

1

2

1

2

1

3 2

1

I

E

D

A C

B

2. Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3

(x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1)

Ta có bảng sau:

x – 1 1 3 – 1 – 3

y + 3 3 1 – 3 – 1

x 2 4 0 – 2

y 0 – 2 – 6 – 4

Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4)

Câu 3:

1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2

A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2)

A = x2 – 4xy + 4y2

2.

a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên:

a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1

b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2

Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x =

Câu 4:

GT ABC, = 900, ABD và ACE đều

I = BE CD

KL

a) BE = CD

b) BDE là tam giác cân

c) và IA là tia phân giác của

a) Ta có:

Xét DAC và BAE có:

DA = BA (GT)

(CM trên)

AC = AE (GT)



1 1 2. – z 0 2

x 1 x 1 1 1 y y 2 2 z 2

               

     





  

   1 2

 µ A  



V

· 0 EIC 60  ãDIE · µ · µ · · 0 0 0 0 1

0 0 0 0 2

DAC A 90 60 90 150 DAC BAE BAE A 90 60 90 150

         

     

V V

· · DAC BAE 

DeThi.edu.vn