Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN - LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức :

Chứng minh rằng : C <

Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38

Câu 2: Cho tỉ lệ thức với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d

Chứng minh rằng : hoặc

Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có chia hết cho 300

Câu 2 : Cho . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?

Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

Bài 5. (5,0 điểm). Cho nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 1) Chứng minh rằng BE = CD . 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?

----- Hết -----

2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 ..... 3 3 3 3 3 3 C       

3 16

2 2

2 2 a + b ab = c + d cd a c = b d

a d = b c

n + 3 n + 2 n + 1 n 4 + 4 - 4 - 4 27 - 2x Q = 12 - x

    2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

Δ ABC

MA BC 

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019

Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức :

Chứng minh rằng : C <

Đáp án Điểm

Biến đổi:

0,25 Ta có

0,25

0,25

0,25

Đặt

Ta có: 0,25

Khi đó:

0,25

0,25

0,25

Suy ra 0,25

0,25

Nên ta có 0,25

0,25

2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 ..... 3 3 3 3 3 3 C       

3 16

2 3 4 99 100 2 3 98 99 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 3 3. ..... 1 ..... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C                   

2 3 98 99 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 3 1 ..... ..... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C C                           

2 3 98 99 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 4 1 .... ..... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C             

2 2 3 3 99 99 100 2 1 3 2 4 3 100 99 100 4 1 .... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C                                   

2 3 99 100 1 1 1 1 100 4 1 .... 3 3 3 3 3 C      

2 3 99 1 1 1 1 1 .... 3 3 3 3 D     

2 3 99 2 98 1 1 1 1 1 1 1 3 3. 1 .... 3 1 .... 3 3 3 3 3 3 3 D                 

2 98 2 3 99 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 .... 1 .... 3 3 3 3 3 3 3 D D                        

2 98 2 3 99 1 1 1 1 1 1 1 4 3 1 .... 1 .... 3 3 3 3 3 3 3 D          

  2 2 98 98 99 1 1 1 1 1 1 1 4 3 1 1 ... 3 3 3 3 3 3 3 D                            

99 1 4 3 3 D  

99 1 1 D = . 3 - 4 3      

99 3 1 D = - 4 4.3

99 100 3 1 100 4 4 4.3 3 C         

99 100 3 1 100 4 4 4.3 3 C   

DeThi.edu.vn

0,25

0,25

0,25

Ta có > 0 nên < . Vậy C < 0,25

Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38

Đáp án Điểm

Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38 0,25

+ Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x

3x = 5z – 6x

0,25

(1) 0,25

+ Vì 3x = 4y (2) 0,25

Từ (1) và (2) suy ra 0,25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

0,25

Do đó : 0,25

0,25

0,25

Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25

99 100 1 3 1 100 . 4 4 4.3 3 C          

2 99 100 3 1 25 16 4 .3 3 C   

2 99 100 3 1 25 - + 16 4 .3 3 C       

2 99 100 1 25 4 .3 3 

2 99 100 3 1 25 16 4 .3 3        

3 16

3 16

 9x = 5z 

x z = 5 9  x z = 20 36 

x y = 4 3  x y = 20 15 

x y z = 20 15 36 

x y z 2x + y - z -38 = = = - 2 20 15 36 2.20 + 15 - 36 19  

x = - 2 x = (-2) . 20 = - 40 20 

y = - 2 y = (-2) . 15 = - 30 15 

z = - 2 z = (-2) . 36 = - 72 36 

DeThi.edu.vn