Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Giao Tân (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS

GIAO TÂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2017 – 2018

Môn Toán 7 ( Thời gian : 120 phút)

Bài 1 : (4 điểm)

1. Rút gọn A = - - - - …… - -

2,Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: Bài 2 : ( 5 điểm )

1.Tìm các số x, y, z biết: .

2.Ba phân số có tổng bằng , các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5 ,

các mẫu số của chúng tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.

Bài 3: ( 1 điểm)

Chứng minh rằng : chia hết cho 31 Bài 4 : ( 3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Bài 5 : ( 4 điểm) : Cho ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, từ O kẻ OH vuông góc với AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a. Chứng minh FCH cân ; b. Chứng minh AK = KI ; c. Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng. Bài 6 ( 3 điểm ): Cho ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho DB = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh

a. DM = EN b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c. Đường trung trực của MN luân đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.

1 100

1 100.99

1 99.98

1 98.97

1 3.2

1 2.1

2 3 4 1 34 2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 2 n n n n n         

2 2 2

2 2 2 2 4 4 6 6 2 2 4 6 xy yz zx x y z y x z y x z

          213

70

2 3 4 5 99 100 2 2 2 2 2 ..... 2 2       

 

2 2 (2 5 ) 15 6 90 P x y y x xy      







DeThi.edu.vn

TRƯỜNG THCS

GIAO TÂN

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2016 - 2017 ( Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài Câ u

Nội dung Điể m

A =

A =

0,25

A = 0,25

A = 0,25

A = 0,25

A = 0,25

A = 0,25

A = 0,25

1.1 (2 đ)

A = 0,25

(1)

Đặt

Suy ra

0,25

2B – B =

-

0,25

Đặt Suy ra

0,25

1 (4đ)

1.2 (2 đ)

2C – C = - 0,25

1 1 1 1 1 1 ... 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1      

1 1 1 1 1 1 ... 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1            

... 1.2 2.3 1 1 1 1 1 1 100 97.98 98.99 99.100            

1 ... 2 3 98 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 2 97 98 99 100               

1 1 1 100 100        

1 1 1 1 0 0 1 0 0  

2 1 1 0 0 

1 1 5 0 

49 50 

2 3 4 1 34 2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 2 n n n n n         

2 3 4 1 2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 n n B n n        

2 3 4 1 2 2.(2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 ) n n B n n        

3 4 5 1 2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 n n n n        

3 4 5 1 (2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 ) n n n n       

2 3 4 1 (2.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 ) n n n n       

3 4 5 1 2 2 2 2 ...... 2 .2 2.2 n n B n        

3 4 5 1 3 (2 2 2 ...... 2 ) .2 2 n n n        

3 4 5 2 2 2 ...... 2n C     

3 4 5 2 2.(2 2 2 ...... 2 ) n C     

4 5 6 1 2 2 2 ...... 2n     

4 5 6 1 (2 2 2 ...... 2 ) n     3 4 5 (2 2 2 ...... 2 ) n    

DeThi.edu.vn

C = Khi đó :

0,25

Vậy từ (1) ta có :

0,25

Do đó (Vì với mọi n) 0,25

. Vậy 0,25 2 (5đ)

2.1 3,0 đ

Tìm các số x, y, z biết: (2)

Xét x = 0 (vô lí) Suy ra

0,25

Khi đó từ (2) suy ra

0,25

Suy ra

0,25

và

0,50

Đặt thì

0,25

Suy ra x = 2k ; y = 4k ; z = 6k và (3) 0,50 Thay x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta được : 56k2 – 28k = 0 56k.(2k-1) = 0

0,50

k = 0 (loại)

Hoặc ( thỏa mãn)

0,25

+ Với thì tìm được x =1 ; y = 2; z = 3

Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = 3

0,25

2.2 2 đ

Gọi ba phân số cần tìm là a,b,c. 0,25

Vì các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu số của chúng

tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2 nên ta có

0,5

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

0,25

1 3 2 2 n

1 3 1 3 (2 2 ) .2 2 n n B n      

1 3 1 3 2 2 .2 2 n n n      

1 1 1 2 .2 ( 1).2 n n n n n       

1 34 ( 1).2 2 n n n    

34 1 2 ( 1).2 0 n n n     

1 33 2 . 2 ( 1) 0 n n       

33 2 1 0 n   1 2 0 n

33 2 1 n   33 2 1 n  

2 2 2

2 2 2 2 4 4 6 6 2 2 4 6 xy yz zx x y z y x z y …