19 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

Đề số 1 đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:

A= b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho là số nguyên tố. Bài 2: ( 2 điểm)

a) Tìm số nguyên n sao cho

b) Biết

Chứng minh rằng:

Bài 3: (2 điểm)

An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách.

+ Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi.

+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn.

Tính số bưu ảnh của mỗi người. Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF . a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB. b) Tính số đo góc EDF và góc BED. Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

Đề số 2 đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

Tính:

91 ) 2 3 ( 6 )1 5 ( 5     n n n n

14 2  P

1 3 2   n n 

c

bx ay b

az cx a

cy bz     

z c y b x a  

2 2 2 2 5 1997 5 q p p   

             

        

7 2 14 3 1 12 : 3 10 10

3 1

4 3 46 25

1 230 . 6 5 10 27

5 2 4 1 13

DeThi.edu.vn

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: chia hết cho 77. b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ nhất. c) Chứng minh rằng: P(x) có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên. Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng:

và

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7. Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: (a, b  Z )

Đề số 3

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a.

b) Tính

Bài 2: (2 điểm)

Cho

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h.

33 38 41 36   A

2 1     x x B

d cx bx ax     2 3

d

c b a 

2 2

2 2

d c

b a cd ab



  2 2

2 2 2

d c

b a d c

b a



       





1 2  n

17 10 17 2 3   b a b a   

2004

1 ... 3 2002 2 2003 1 2004

2005

1 ... 4 1 3 1 2 1

   

     P

z y x

t y x t

z x t z

y t z y

x

          

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x P    

  

    

DeThi.edu.vn

Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH  BC (H  BC). Vẽ AE  AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N  AH). EF cắt AH ë O.

Chứng minh rằng O là trung điểm của EF. Bài 5: (1 điểm)

So sánh: và

Đề số 4 đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

Tính : ;

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z

) Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: chia hết cho 10. b) Tìm số tự nhiên x, y biết: Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh:

a) AC // BP. b) AK  MN.

255 5 579 2

68

1 52

1 8 1

51

1 39

1 6 1

 

   A 10 3 2 2 512 ... 2 512 2 512 2 512 512       B

z y x y x

z z x

y y z

x            2 1 1 0 

n n n n S 2 3 2 3 2 2      

2 2 23 ) 2004 ( 7 y x   

DeThi.edu.vn