Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

*******

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Năm học 2003 - 2004

MÔN THI : TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3 điểm)

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a để khi ghép nó vào bên phải số 2004 thì được một số tự nhiên chia hết cho 2003.

Bài 2 (5 điểm)

Cho hai hàm số : f(x) = |x – 1| + 1 và g(x) = |x – 2| + 2. 1. Tìm x để f(x) – 2g(x) = -3 ; 2. Tìm x để f(x) = g(f(2)).

Bài 3 (3 điểm)

Chứng minh rằng không thể tìm được các số nguyên x, y, z thoả mãn :

|x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005.

Bài 4 (3 điểm)

Tìm x biết : .

Bài 5 (6 điểm)

Cho ∆ABC có và Trên tia phân giác BE (E thuộc AC) của lấy

điểm F sao cho sao cho Gọi I là trung điểm của AF, EI cắt AB ở K. 1. Chứng minh : EK  AF. 2. Chứng minh : BE  CK.

Họ và tên : …………………………………………………… SBD : ……………………………

Trường THCS : ……………………………………………………………………………………

2 2 2 3x 4 2004x 1 3 4x .     

µ 0 A 50  µ 0 B 20 .  ãABC · 0 FAB 20 . 

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (3 điểm)

Đặt (n ∈ N*, là các chữ số, )

Số tự nhiên cần tìm có dạng :

Theo giả thiết, ta có : ⋮ 2003  2004.10n + ⋮ 2003

 2003.10n + 10n + ⋮ 2003  10n + ⋮ 2003 (vì 2003.10n ⋮ 2003)

Xét các trường hợp :

- Với n = 1, ta được 10 + ⋮ 2003  không tìm được vì 10 < 10 + < 20.

- Với n = 2, ta được 100 + ⋮ 2003

 không tìm được vì 100 < 100 + < 200.

- Với n = 3, ta được 1000 + ⋮ 2003

 không tìm được vì 1000 < 1000 + < 2000.

- Với n = 4, ta được 10000 + ⋮ 2003  10000 + - 5.2003 ⋮ 2003

Hay - 15 ⋮ 2003 (1)

Nhận xét : 999 < < 10000  984 < - 15 < 9985 (2)

Vì phải là số tự nhiên nhỏ nhất nên từ (1) và (2) suy ra :

- 15 = 2003  = 2018

Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là a = 2018.

Bài 2 (5 điểm)

1. f(x) – 2g(x) = -3  |x – 1| + 1 – 2(|x – 2| + 2) = -3

 |x – 1| - 2|x – 2| = 1 (1) Xét các trường hợp : - Nếu x < 1 thì x – 1 < 0 và x – 2 < 0  |x – 1| = 1 – x, |x – 2| = 2 - x (1) trở thành : 1 – x – 2(2 – x) = 1  1 – x – 4 + 2x = 1  x = 4 (không thoả mãn x < 1) - Nếu 1  x < 2 thì x – 1  0 và x – 2 < 0  |x – 1| = x – 1, |x – 2| = 2 - x (1) trở thành : x – 1 – 2(2 – x) = 1  x – 1 – 4 + 2x = 1  3x = 6  x = 2 (không thoả mãn 1  x < 2) - Nếu x  2 thì x – 1 > 0 và x – 2  0  |x – 1| = x – 1, |x – 2| = x - 2

1 2 n a a a ...a  1 2 n a ,a ,...,a 1a 0 

1 2 n 2004a a ...a

1 2 n 2004a a ...a 1 2 n a a ...a

1 2 n a a ...a 1 2 n a a ...a

1a 1a 1a

1 2 a a

1 2 a a 1 2 a a

1 2 3 a a a

1 2 3 a a a 1 2 3 a a a

1 2 3 4 a a a a 1 2 3 4 a a a a

1 2 3 4 a a a a

1 2 3 4 a a a a 1 2 3 4 a a a a

1 2 3 4 a a a a a 

1 2 3 4 a a a a 1 2 3 4 a a a a

DeThi.edu.vn

(2) trở thành : x – 1 – 2(x – 2) = 1  x – 1 – 2x + 4 = 1  -x = -2  x = 2 (thoả mãn x  2) Vậy giá trị của x cần tìm là x = 2.

2. f(2) = |2 – 1| + 1 = 2  g(f(2)) = g(2) = |2 – 2| + 2 = 2.

Do đó f(x) = g(f(2))  |x – 1| + 1 = 2  |x – 1| = 1  

Vậy với x ∈ {0 ; 2} thì f(x) = g(f(2))

Bài 3 (3 điểm)

Không giảm tổng quát có thể giả sử x  y  z. Khi đó x – y  0, y – z  0, z – x  0  |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005  x – y + y – z + x – z = 2005  2(x – z) = 2005 (*) Vì x, z ∈ Z nên vế trái (*) là số nguyên chẵn, còn 2005 là số lẻ nên không tìm được x, z thoả mãn (*).

Vậy không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn điều kiện đề bài.

Bài 4 (3 điểm)

Vì x2  0 x  3x2 + 4  4, 2004x2 + 1  1   2,  1

  3 (dấu bằng xảy ra  x = 0) (1) Mặt khác, 3 – 4x2  3 (dấu bằng xảy ra  x = 0) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

  x = 0. Vậy x = 0.

Bài 5 (6 điểm)

1. Vì BE là tia phân giác của nên

Xét AEF có :

3

1 2

1

1

2 2

1

K I

F E

C

A B

x 1 1 x 1 1    

x 2 x 0    

2 3x 1  2 2004x 1 

2 2 3x 4 2004x 1   

2 2 2 3x 4 2004x 1 3 4x     

2 2 2 3x 4 2004x 1 3 4x 3      

ãABC µ µ · 0

0 1 2 ABC 20 B B 10 2 2    

µ · µ 0 0 0 1 2 A BAC A 50 20 30     

DeThi.edu.vn