20 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1

ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3 2 4 2 3 ( ) : ( ) 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x + − − = − − − − + −

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm)

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho 1 x y z a b c + + = và 0 a b c x y z + + = . Chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c + + = .

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của

C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5

DeThi.edu.vn

2

b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0

ĐKXĐ :

2

2

2 3

2 0

4 0 0 2 0 2 3 3 0

2 0

x

x x x x x x x

x x

−   −      +        −     −  

1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 ) ( ):( ) . 2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3) x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x + − − + + − − − = − − = = − − + − − + − 1,0

2 4 8 (2 ) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x + − = − + − 0,5

2 4 ( 2) (2 ) 4 (2 )(2 )( 3) 3 x x x x x x x x x + − = = − + − − 0,25

Vậy với 0, 2, 3 x x x    thì

2 4x

3 A x = −. 0,25

b 1,0

Với

2 4 0, 3, 2: 0 0 3 x x x x A x       − 0,25

3 0 x  − 0,25 3( ) x TMDKXD   0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0

7 4 7 4 7 4 x x x

− =  − = − = − 

0,5

11( ) 3( ) x TMDKXD x KTMDKXD =  = 

0,25

Với x = 11 thì A = 121

2 0,25

Bài 3 5,0 a 2,5

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : 2 2 2 ( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0 x y z −  −  +  0,5 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25

DeThi.edu.vn

3

b 2,5

Từ : ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz + + =  = 0,5

ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có : 2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c + + =  + + = 0,5

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc  + + + + + = 0,5

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc + +  + + + = 0,5

2 2 2

2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c  + + = 0,25

Bài 4 6,0

0,25

a 2,0

Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : ( ) BEO DFO g c g  =  −− 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ABC ADC HBC KDC =  = 0,5 Chứng minh : ( ) CBH CDK g g   − 1,0

. . CH CK CH CD CK CB CB CD  =  = 0,5

b, 1,75 Chứng minh : AF ( ) D AKC g g   − 0,25

AF . A . AK AD AK F AC AD AC  =  = 0,25

Chứng minh : ( ) CFD AHC g g   − 0,25

CF AH CD AC  = 0,25

O

F

E

K

H

C

A

D

B

DeThi.edu.vn