Tuyển tập 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ BÀI

Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để:

a) 3 2 1 A n n n     là số nguyên tố

b)

4 3 2

2 3 2 6 2 2 n n n n B n       có giá trị là một số nguyên

c) 5 2 D n n    là số chính phương.

Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng:

a) 1 1 1 1 a b c ab a bc b ac c          biết 1 abc 

b) Với 0 a b c    thì  

2 4 4 4 2 a b c ab bc ca     

c)

2 2 2

2 2 2 a b c c b a b c a b a c     

Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 214 132 54 6 86 84 82 x x x      

b)    2 2 8 1 . 4 1 9 x x x   

c) 2 2 2 4 10 0 x y x y      với ,x y nguyên dương.

Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang   / / ABCD AB CD , O là giao điểm hai đường

chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với ABcắt DAtại E, cắt BC tại F

a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

b) Chứng minh: 1 1 2 AB CD EF  

c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc . OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và

chia đôi diện tích tam giác DEF

DeThi.edu.vn

Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1.

a)    3 2 2 1 1 1 A n n n n n      

Để A là nguyên tố thì 1 1 2 n n   . Khi đó 5 A 

b) 2

2

2 3 2 B n n n     B có giá trị nguyên 2 2 2 n   M

2 2 n  là ước tự nhiên của 2

2

2

2 1

2 2

n

n

      

2 1( ) 0 ( ) n ktm n tm

    Vậy với 0 n  thì B có giá trị nguyên. c)

     

           

5 4 2

2

2 1 2 1 1 1 2

1 1 4 5 2 1 1 2 2 5 1 1 2

D n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

          

                   Mà      1 1 2 2 5 n n n n n     M (tích 5 số tự nhiên liên tiếp) Và    5 1 1 5 n n n   M . Vậy D chia 5 dư 2 Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương. Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương. Câu 2.

a)

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c ac abc c ab a bc b ac c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac ac c c ac ac c abc ac

                               b)

 

       

2 2 2

2 2 2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 2 0

2 (1)

2 4 8

a b c a b c ab ac bc

a b c ab ac bc

a b c a b a c b c a b a c b c abc a b c

         

     

           

(Vì 0 a b c    )     2 2 2 2 2 2 2 2 (2) ab ac bc a b a c b c      

Từ (1) và (2)  

2 4 4 4 2 a b c ab ac bc      

c) Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 x y xy   . Dấu bằng xảy ra khi x y 

DeThi.edu.vn

Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2. . 2.

2. . 2.

2. . 2.

a b a b a b c b c c a c a c c b a b a b c b c b b a c a c a

  

  

  

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a c b a b c a c b b c a c b a b c a c b a                        Dấu " " xảy ra khi a b c   Câu 3.

a)

 

214 132 54 6 86 84 82 214 132 54 1 2 3 0 86 84 82 300 300 300 0 86 84 82 1 1 1 300 0 300 0 300 86 84 82

x x x

x x x

x x x

x x x

     

                                  

                Vậy   300 S  b)

        

2

2 2 2 2 2 8 1 . 4 1 9

64 16 1 8 2 9 64 16 1 64 16 72

x x x

x x x x x x x x

  

         

Đặt 2 1 64 16 2 x x k   

Ta có:

  

2 0,5 0,5 72 72,25 8,5 k k k k        Với 8,5 k  ta có phương trình :

   2

1 2 64 16 8 0 2 1 4 1 0 1 4

x x x x x

x

             Với 8,5 k  ta có phương trình:

 

2 2 64 16 9 0 8 1 8 0 x x x        (vô nghiệm)

DeThi.edu.vn