Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

Câu 1:

Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng

1 ab a b    chia hết cho 48.

Câu 2:

a) Giải phương trình:

       2 2 2 2 2 2 2 2016 4 5 2015 4 2 2016 5 2015 x x x x x x x x          

b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 1 abcd . Tính giá trị của biểu thức

1 1 1 1 1 1 1 1 M abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d               

Câu 3:

Cho đa thức  P x thỏa mãn khi chia cho 3 x  thì dư 17 ; khi chia cho 1 x  dư 3.

tìm dư của phép chia  P x cho

2 4 3 x x  

Câu 4:

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA; BB; CC, trực tâm H

a) Tính tổng AH BH CH AA BB CC     

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( M AC  , N AB  ). Chứng minh . . . . AN BI CM BN IC AM 

c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức  

2

2 2 2 AB BC CA AA BB CC        đạt giá

trị nhỏ nhất

Câu 5:

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2016 x y z    .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 x y y z z x P x y y z z x         

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN

Câu 1:

Ta có    1 1 1 ab a b a b     

Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên  

2 2 1 a n   ,  

2 2 3 b n   , (

n¢ ), suy ra       2 1 1 1 16 1 2 ab a b a b n n n        

Vì n ,   1 n  ,   2 n  là tích của ba số nguyên liên tiếp nên    1 2 n n n   chia hết

cho 3, mà   16,3 1  nên    2 16 1 2 48 n n n    nên 1 48 ab a b    .

Câu 2:

a) Đặt

2 2 2016 x x a   ; 2 5 2015 x x b   , ta có

 

2 2 2 4 4 2 0 2 a b ab a b a b        , từ đó tìm ra x

Câu 3:

Vì đa thức chia là

2 4 3 x x   có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b 

Ta có      1 3 . P x x x Q x ax b     

 3 17 3 17 P a b     và  1 3 3 P a b    

Do đó 7 a ; 4 b  nên đa thức dư có dạng 7 4 x 

Câu 4:

a) Ta có

I

x

N

M

D

H

C'

B'

A' C B

A

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

1 . 2 ABC S AA BC   ; 1 . 2 BHA S BA AH   ; 1 . 2 CHA S CA AH  

 . 2

. 2

AHB AHC

ABC

A B A C AH S S AA AA BC S AH

  

     

Chứng minh tương tự ta có:

 . 2

. 2

AHB BHC

ABC

AB B C BH S S BH BB AC S BB

       ;

 . 2

. 2

BHC AHC

ABC

BC AC CH S S CH CC AB S CC

       

2 2 AHB AHC AHB BHC BHC AHC ABC

ABC ABC

S S S S S S S AH BH CH AA BB CC S S             

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

AN AI BN BI  ; BI AB IC AC  ; CM IC AM AI  , từ đó suy ra

. . . . . . 1 . . . . AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC AN BI CM BN IC AM BN IC AM BI AC AI AC BI AC AB     

c) Vẽ Cx CC  , gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx

Ta có tam giác BAD vuông tại A và CD CA  ; 2 AD CC 

Xét ba điểm B, C, D, ta có BD BC CD  

BAD  vuông tại A nên 2 2 2 AB AD BD  

 

2 2 2 AB AD BC CD    

 

2 2 2 4 AB CC BC AC     

 

2 2 2 4CC BC AC AB     

Chứng minh tương tự ta có:

 

2 2 2 4AA AB AC BC   

 

2 2 2 4BB AB BC AC   

DeThi.edu.vn