Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.(5 điểm)

Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức       



  



    

  2 2

2

2 2 2

2

2

2 2 : x y

x

y x

y x

y x

y xy

x y A .

b) Chứng minh rằng: A < - 4. Bài 2. (2 điểm)

Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014. Bài 3.(2 điểm)

Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Bài 4.( 8 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5. (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.

--------------------- Hết --------------------- (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ THI CHÍNH

DeThi.edu.vn

M

F

E

B A

D C

N

Họ và tên thí sinh: ......................................................... Số báo danh:.........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung Biểu điểm a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.

      



  



    

  2 2

2

2 2 2

2

2

2 2 : x y

x

y x

y x

y x

y xy

x y A

      

2 2

2 2 2 2 2 2

y x y x

y x x y 2x y x y : xy

x y

 

     

   .1 y x

y x x y 2x .1 y : xy

x y

2

2 2 2



    

     

    

  xy

y x x y xy

y x x y

y x

x y : xy

x y

y x

y x x y : xy

x y

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2   

   

   

   

3(điểm) Bài 1

b)     0 xy

1 xy

y x 4 xy

y - x 4 A

2 2

       (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

Suy ra A < - 4.

2(điểm)

Bài 2

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0  [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0  (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0 …  y = 3; z = 5; x = 4 Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.

2(điểm)

Bài 3

Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*) pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau. Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 903 nên pn 3 Điều này mâu thuẫn (*). Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

2(điểm)

DeThi.edu.vn

a) Chứng minh được CDE = CBF (g.c.g)  CE = CF.

2(điểm)

b) Chỉ ra EF 2 1 MC AM    M thuộc đường trung trực BD của đoạn

AC. Vậy B, D, M thẳng hàng. 2(điểm)

c) Chỉ ra ACE = BCM  EAC ~ MBC (g.g). Chỉ ra CAE = CBM 2(điểm)

Bài 4

d) Đặt BN = x  AN = a – x.

*)Tính SAEFC = SACE + SECF = 2 CE 2 1 DC.AE 2 1 

- Tính AE: Lý luận để có

x) a(a x) AE(a AE.a a

x a a AE

AE DC AN AD AE

AE DC AN ED AE             

x

x) a(a AE   

- Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2

  

2

4 2 2 2 2

x a a x

x a a a a CE            

Do đó SAEFC =  

2

3

2x

x a a 

*) Tính SABCD = a2. Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có

6x2 – ax – a2 = 0  (2x – a)(3x + a) = 0  2 a x  (vì a, x > 0).

KL: N là trung điểm của AB thì SAEFC = 3SABCD.

2(điểm)

DeThi.edu.vn