Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm 2023 (Có đáp án)

1

MÃ KÍ HIỆU (PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)

…………………………..

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1(4,0 điểm). 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 2 5 7 x x   b)          x 2 x 3 x 4 x 5 24 .

2. Thực hiện phép tính:

2

2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x           Câu 2(4,0 điểm). 1. Giải phương trình:

a) 214 132 54 6 86 84 82 x x x       . b)       3 3 3 2 5 2 3 x x x      .

2. Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1. a b c   Chứng minh rằng:

2 a bc b ca c ab b c c a a b          Câu 3(4,0 điểm). a) Đa thức f(x) khi chia cho 1 x  dư 4, khi chia cho 2 1 x  dư 2 3 x . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 2 ( 1)( 1). x x   b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9. Câu 4(6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A   AB AC  có AD là tia phân giác của ·BAC . Gọi M và N

lần lượt là hình chiếu của D trên ABvà , AC E là giao điểm của BN và , DM F là giao điểm của CM và . DN a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và / / . EF BC b) Gọi H là giao điểm của BN và . CM Chứng minh ANB  đồng dạng với NFA  và H là trực tâm AEF  c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK

và AD là .I Chứng minh : 9 BI AO DM KI KO KM    .

Câu 5(2,0 điểm). Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn:   2 2 2 7 2 10 0 x xy x y y       .

………………………………………..HẾT……………………………………………

DeThi.edu.vn

2

MÃ KÍ HIỆU (PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)

…………………………..

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023 MÔN: TOÁN HỌC (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 05 trang)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác, đúng vẫn đạt điểm tối đa Câu Hướng dẫn chấm Điểm

1(2,0 điểm)

a(1,0 điểm)

      

2 2 )2 5 7 2 2 7 7

2 1 7 1 1 . 2 7

b x x x x x

x x x x x

     

      

0,5

0,5 b(1,0 điểm)

      

2 2 )2 5 7 2 2 7 7

2 1 7 1 1 . 2 7

b x x x x x

x x x x x

     

      

0,5

0,5 2(2,0 điểm).

Câu 1 (4 điểm)

  

  

     

  

     

2

2 2

2

2

2

7 10 5 2

1 2 2 4 1 2 2 4 2 7 10 5 2 5 2 5

5 2 2 4 2 5 2

5 3 8 15 3 5 2 5 2 2

x x x x

x x x x x x A x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

                   

         

              

0,5

0,5

0,5

0,5

a(1,0 điểm)

214 132 54 6 86 84 82 x x x      

214 132 54 1 2 3 0 86 84 82 x x x                            

0,25

300 300 300 0 86 84 82 x x x        0,25

  1 1 1 300 300 0 300 86 84 82 x x x               

0,25

Câu 2 (4 điểm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là   300 S  0,25

DeThi.edu.vn

3

b(1,0 điểm)

Đặt 2 5 ; 2 3 x a x b a b x        

Phương trình đã cho trở thành:  

3 3 3 a b a b   

0,25

     

    

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 0 3 0

a b a ab b a b a ab b

a b a ab b a ab b ab a b

       

          

0,25

5 0 2 0 2

3

a x

b x

a b x

             

0,25

Vậy nghiệm của phương trình là: 5 ;2;3 2 S      

0,25

2(2,0 điểm)

     a bc a a b c bc a b c a         Tương tự:       ; b ca b a b c c ab c a c b        

Do đó:          a b a c b a b c c a c b VT b c c a a b            

0,5

0,5

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

       

       

       

2

2

2

a b a c b a b c a b b c c a a b a c c a c b a c b c a b b a b c c a c b b c a c a b

                          

Vậy   2. 4 4 2 VT a b c VT       . Dấu “=” xảy ra 1 3 a b c    

0,5

0,5

a(2,0 điểm) Câu 3 ( 4 điểm) Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia 1 x  dư 4 => f(-1) = 4. Do bậc của đa thức chia 2 ( 1)( 1) x x   là 3 nên đa thức dư có dạng 2 ax bx c  . Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia …