Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Thái Thụy (Có đáp án)

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm).

Cho biểu thức:

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 Bài 2 (4,0 điểm).

a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

. Chứng minh A = abcd là số chính phương.

b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.

Bài 3 (3,0 điểm).

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:

2 2 x+1 x+1 2x-4 + -3 0 x-2 x-4 x-4            

Bài 4 (3,0 điểm).

a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.

b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng :

2 2 2 1 1 1 9 2 2 2       x yz y xz z xy

Bài 5 (5,0 điểm).

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.

a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. e. Thầy cô có nhu cầu mua bộ đề HSG môn toán 6789 các huyện trên toàn quốc(100 đề full đáp án), giá 50k/1 khối gồm 100 đề. Liên hệ 0981631258 Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016       

------HẾT------ Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..……

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2016-2017

Bài Nội dung Biểu điểm

Cho biểu thức:

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6

a)

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

=

4 2

2 x (2x 1) (2x 1) 2(4x 2x 1) (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x 2x 1)           

=

4 4 4 (x 1)(2x 1) 2 x 1 2 x 1 (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1              

Vậy P =

4 x 1 2x 1 



0.25

1

1

0.25

1 b) ĐK: 1 x 2 

P = 6

4 x 1 6 2x 1     4 x 1 12x 6   

4 2 2 x 4x 4 4x 12x 9       2 2 2 (x 2) (2x 3)     2 x 2 2x 3     (1) hoặc 2 x 2 2x 3    (2) Ta có (1) 2 2 x 2x 1 2 (x 1) 2      

x 1 2 x 1 2

x 1 2 x 1 2

             

(tmđk)

(2) 2 2 x 2x 1 4 (x 1) 4      vô nghiệm

Vậy x 1 2

x 1 2

  

 

0.25

0.25

0.25

0,25

0.25

0.25

a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

.

Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.

2 a) 2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

 a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 +c +a a b b c d d     

a b c d + + 2 +c +a a b b c d d      0,25

DeThi.edu.vn

a b c d 1 1 0 +c +a        a b b c d d

b b d d 0 +c +a        a b b c d d

b(c-a) d(a -c) 0 ( )( +c) ( )( +a)      a b b c d d

( )( ) ( )( ) 0        b c d d a d a b b c

2 2 0 abc acd bd b d     

( )( ) 0 b d ac bd    

d 0 d     ac b ac b (vì b ≠ d)

Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3

2 (4 1) ( 3)    a a

2 (4 1)(4 1) ( 3)      a a a (vì  a Z nên 4 1  a Z )

2 2

2 2

2

(16 1) ( 3)

16( 3) 49 ( 3)

49 ( 3)

  

         







a a

a a

a +) Tìm a, thử lại và kết luận a   2;2 

0,5

0,5

0,5 0,5

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:

2 2 x+1 x+1 2x-4 + -3 0 x-2 x-4 x-4            

a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) …