Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 (Có đáp án)

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3 điểm)

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a, 4 x 4  b,      x 2 x 3 x 4 x 5 24     

2. Cho a b c 1 b c c a a b      

. Chứng minh rằng:

2 2 2 a b c 0 b c c a a b       Câu 2: (2 điểm)

1. Tìm a,b sao cho 

3 2 f x ax bx 10x 4    chia hết cho đa thức



2 g x x x 2   

2. Tìm số nguyên a sao cho 4 a 4  là số nguyên tố

Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.

a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4.(1,5 điểm)

Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tinh: a2011 + b2011

--------------------------HẾT--------------------------

DeThi.edu.vn

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG

MÔN: TOÁN 8

Câu Đáp án Điểm

1a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 0,5

= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 0,25

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 0,25

1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 0,25

= (x2 + 7x + 11)2 - 52

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

0,25

0,25

= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25

2. Nhân cả 2 vế của: a b c 1 b c c a a b      

với a + b + c 0,5

1

rút gọn đpcm 0,5

1. Ta có :     2 g x x x 2= x 1 x 2      Vì



3 2 f x ax bx 10x 4    chia hết cho đa thức



2 g x x x 2   

0,25

Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)

    3 2 ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x     0,25

Với  x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1  

Với  x=-2 2a-b+6=0 2  0,25

Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4 0,25

2. Ta có :    4 2 2 a 4= a -2a+2 a +2a+2  0,25

Vì 2 2 a a -2a+2 ;a +2a+2 Z Z Z    

Có  

2 2 a +2a+2= a+1 1 1 a  

Và  

2 2 a -2a+2= a-1 1 1 a   0,25

2

Vậy 4 a 4  là số nguyên tố thì 2 a +2a+2=1 hoặc 2 a - 2a+2=1 0,25

DeThi.edu.vn

M F

E

D C

B A

Nếu 2 a -2a+2=1 1 a   thử lại thấy thoả mãn

Nếu 2 a +2a+2=1 1 a   thử lại thấy thoả mãn 0,25

0,25

a. Chứng minh: AE FM DF  

 AED DFC    đpcm

0,5

0,5

b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC   đpcm 1

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

ME MF a    không đổi 0,5

3

AEMF S ME.MF   lớn nhất

ME MF  (AEMF là h.v)

M  là trung điểm của BD.

0,25

0,25

0,25

(a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

(a+ b) – ab = 1

(a – 1).(b – 1) = 0

a = 1 hoặc b = 1

0,25

0,25

0,25

0,25 4

Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)

Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)

Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,25

0,25

* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

-----------------HẾT------------------

DeThi.edu.vn