Bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Đề 1

Bài 1: (6,0 điểm)

1. Cho 2021 xyz  . Tính giá trị biểu thức 2021 2021 2021 2021 1 x y z A xy x yz y xz z          2. Tìm các số tự nhiên ,a b biết 2 37 45 45 a b b     

3. Có tồn tại hay không cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 2021 2020 2020 2021 2020 2021 a a   

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Cho 2 3 4 ab ac bc ba ca cb      . Chứng minh rằng 3 5 15 a b c  

2. Cho đa thức 

2 f x ax bx c   . Xác định , , a b c biết    2 2 0 f f    và 3 a c  

Bài 3: (2,0 điểm)

Chứng minh 3 2 2 3 n n n   chia hết cho 6 với mọi nZ

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho ABC  nhọn. Vẽ ra ngoài ABC  các tam giác vuông cân tại A là ABM  và ACN  a) Chứng minh ; BN CM BN CM   b) Kẻ   AH BC H BC   . Chứng minh AH đi qua trung điểm MN

c) Lấy điểm O bất kì trong ABC  . Chứng minh OA OB OC AB AC BC     

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho ABC  cân tại B có · 0 80 ABC  . Lấy điểm I bên trong tam giác sao cho · 0 10 IAC  và · 0 30 ICA  . Tính số đo ·AIB

DeThi.edu.vn

Đề 2

Bài 1: (6,0 điểm)

1. Cho 2 abc . Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 2 a b c A ab a bc b ac c          2. Tìm cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 2 6 9 xy y x   

3. Có tồn tại hay không số nguyên n và k thỏa mãn 2 2 2022 n k  

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Cho các số , , 0 a b c  thỏa mãn 2 2 2 b c a c b a a b c a b c        .

Tính giá trị biểu thức        

3 2 3 2 3 2 3 3 3 a b b c c a P a c b a c b       

2. Cho đa thức   

2021 2 f x x   . Biết sau khi khai triển và thu gọn đa thức trên ta được



2021 2020 3 2 2021 2020 3 2 1 0 ... f x a x a x a x a x a x a       

Tính giá trị biểu thức 0 2 4 2020 ... S a a a a     

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho

6

1 1 1 47 60

a b c

a b b c c a

          

Chứng minh rằng 17 10 a b c b c c a a b      

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho ABC  vuông tại A và µ 0 60 B  . Tia phân giác của µB cắt AC tại D . Trung tuyến AM a) Chứng minh ABD MBD   b) Chứng minh AD DC 

c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AM tại G . Tính AG

GM

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho ABC  có · · 0 0 45 , 15 ABC ACB   . Trên tia phân giác trong của ·BAC lấy điểm D sao cho · 0 75 ACD  . Chứng minh BCD  đều

DeThi.edu.vn

Đề 3

Bài 1: (6,0 điểm)

1. Cho 1 xyz . Chứng minh rẳng 1 1 1 1 1 1 1 x xy y yz z xz          2. Tìm cặp số nguyên   ;x y biết 2 3 x xy y   

3. Có tồn tại không không cặp số nguyên x thỏa mãn     2 2 3 2 1 2021 x x x x       

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Tìm cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 1 2 1 4 1 6 18 24 6 y y y x     

2. Cho đa thức    3 2 , , , P x ax bx cx d a b c d     Z . Biết rằng đa thức  P x chia hết cho 5 với

mọi xZ . Chứng minh rằng 2022 2023 2024 2025 2021 2022 2023 2024 A a b c d     chia hết cho 5

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho , , a b c¡ và đôi một khác nhau thỏa mãn 2 2 2 a b b c c a     . Tính giá trị biểu thức     1 1 1 M a b b c a c       

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho ABC  vuông tại A, phân giác BD. Vẽ DE BC  a) Chứng minh AD DE  b) Chứng minh AD DC  c) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt CA tại M . Gọi I là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm J sao cho AJ BI  . Đường thẳng vuông góc với AB tại I cắt BM tại P . Chứng minh PJ JC 

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho ABC  đều. Lấy I là điểm bất kì trong ABC  . Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ I đến ba cạnh của ABC  có số đo không đổi

DeThi.edu.vn