Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

UBND QUẬN HỒNG BÀNG TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG

KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN 8 (Thời gian 150 phút, không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm).

1. Cho 3 x y   . Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 4 4 1 A x xy y x y      . 2. Thu gọn biểu thức:

3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) B a b b c c a a b b c c a           . Bài 2 (2,0 điểm).

1. Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thoả mãn 2 ( 1) 2 y x x    .

2. Cho n là một số tự nhiên khác 0 sao cho 2 1 n  là một số nguyên tố. Chứng minh rằng n là một lũy thừa của 2. Bài 3 (2,0 điểm).

1. Cho đa thức 4 3 2 ( ) 2021 (2020 ) 2019 P x x x a x x a       (với a là một số nguyên). Chứng minh rằng với mọi số nguyên a , ( ) P x không có nghiệm nguyên lẻ. 2. Cho các số , , a b c thoả mãn 0 a b c    . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 4 4 4 ( ) 2 a b c a b c      

Bài 4 (3,0 điểm).

1. Cho tứ giác ABCD có µ 0 40 C  , µ 0 80 D  và AD BC  . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính số đo góc EFD .

2. Cho hình chữ nhật ABCD . Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD . Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho FE EC  . Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD . Chứng minh rằng:

a) KH song song với AC . b) Ba điểm , , E H K thẳng hàng. Bài 5 (1,0 điểm).

Cho mười số: 1, 2, 3, ... , 10. Sắp xếp mười số đó theo một trật tự tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười số mới. Chứng minh trong mười số mới đó, tồn tại ít nhất hai số có chữ số tận cùng giống nhau.

............HẾT...........

Họ và tên thí sinh: .................................................; Số báo danh:......................................... Cán bộ coi thi 1:.....................................................; Cán bộ coi thi 2:...................................

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

Bài Nội dung cần đạt Điểm

1. Cho 3 x y   . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 4 4 1 A x xy y x y      .

Ta có 2 ( 2) 3 A x y     0,5

Thay 3 x y   vào biểu thức A ta được 2 (3 2) 3 2 A    . 0,5

2. Rút gọn biểu thức: 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) B a b b c c a a b b c c a           .

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 B a b a b ab b c b c bc a c a c ac             2 2 2 2 2 2 3(2 ) abc a b a c b c b a c a c b       

0,5

1 (2,0đ)

3 3 3 2( 3 ) B a b c abc     0,5

1. Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thoả mãn 2 ( 1) 2 y x x    .

Ta có 2 ( 1) 2 y x x    (*) Thấy rằng 1 x  không thỏa mãn hệ thức (*). Vậy 1 x  hay 1 0 x   .

Từ hệ thức (*) ta có:

2 2 3 1 1 1 x y x x x        .

0,25

Để y là số nguyên thì 3 ( 1) x   0,25

Từ đó   1 1; 3 x    hay   2;0;2;4 x  0,25

Vậy   ( ; ) ( 2; 2);(0; 2);(2;6);(4;6) x y     0,25

2. Cho n là một số tự nhiên khác 0 sao cho 2 1 n  là một số nguyên tố. Chứng minh rằng n là một lũy thừa của 2. Giải sử n có một ước là số nguyên tố lẻ p n  . Đặt n pq  khi đó 1. q 

Ta có 2 1 (2 ) 1 2 1 n q p q     

0,25

2 1 n   là hợp số (trái giả thiết). 0,25

2 (2,0đ)

Do đó n không có ước nguyên tố là một số lẻ. Vậy n là một lũy thừa của 2. 0,5

1. Cho đa thức 4 3 2 ( ) 2021 (2020 ) 2019 P x x x a x x a       (với a là một số nguyên). Chứng minh rằng với mọi số nguyên a , ( ) P x không có nghiệm nguyên lẻ. Giả sử 0 x là một nghiệm nguyên lẻ của đa thức ( ) P x . Khi đó ta có

0 ( ) 0 P x  . 0,25

Mặt khác 4 3 2 0 0 0 0 0 ( ) 2021 (2020 ) 2019 P x x x a x x a      

4 3 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) 2021 2020 2019 ( 1) P x x x x x a x      

0,25

3 (2,0đ)

Do 4 3 2 0 0 0 0 2021 2020 2019 x x x x    là số lẻ và 2 0 ( 1) a x  là số chẵn 0,25

DeThi.edu.vn