Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

ĐỀ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .

c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng

 

3 3 2 2 2 0 1 1 3

x y x y y x x y

       Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b)

2003

6 2004

5 2005

4 2006

3 2007

2 2008

1            x x x x x x

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

DeThi.edu.vn

HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét

2 A 1 0 x 7 x 5 7 5 x 4 B 2 x 3 2 x 3         (0,25đ)

Với x  Z thì A  B khi 7 2 3  x  Z  7  ( 2x – 3) (0,25đ)

Mà Ư(7) =   1;1; 7;7    x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ)

c) (1,5đ) Biến đổi

3 3 x y y 1 x 1   =

4 4

3 3 x x y y (y 1)(x 1)     

=   4 4

2 2 x y (x y)

xy(y y 1)(x x 1)

  

    ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)

=     2 2

2 2 2 2 2 2 x y x y x y (x y)

xy(x y y x y yx xy y x x 1)

    

        (0,25đ)

=  

2 2

2 2 2 2 x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy 2             

(0,25đ)

=  

2 2

2 2 2 x y (x x y y) xy x y (x y) 2           

=  

2 2 x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)      (0,25đ)

=   

2 2 x y x( y) y( x) xy(x y 3)      =  

2 2 x y ( 2xy) xy(x y 3)  

 (0,25đ)

=

2 2 2(x y) x y 3  

 Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0  x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003             x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003                 



2003

2009 2004

2009 2005

2009 2006

2009 2007

2009 2008

2009            x x x x x x x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003            

(0,25đ)

DeThi.edu.vn

 0 ) 2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1 )( 2009 (        x (0,5đ) Vì 1 1 2008 2005  ; 1 1 2007 2004  ; 1 1 2006 2003 

Do đó : 0 2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1       (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009

Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c)EDF cân tại D

Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c)  1 2 ˆ ˆ E F  Mà 1 2 1 ˆ ˆ ˆ E E F   = 900  2 2 1 ˆ ˆ ˆ F E F  = 900

 EDF= 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD Mà EDF vuông cân  DI = 1

2 EF

Tương tự BI = 1

2 EF  DI = BI

 I thuộc dường trung trực của DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)

= 2(x –

2 a

4 )2 +

2a 2 

2 a

2 (0,25đ)

Ta có DE nhỏ nhất  DE2 nhỏ nhất  x = a

2 (0,25đ)

 BD = AE = a

2  D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)

b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Ta có: SADE = 1

2 AD.AE = 1

2 AD.BD …