Xem trước nội dung
Bài toán cho HSG lớp 8 và 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là giao các phân giác trong của các tam giác ABH, ACH.
a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và HIK đồng dạng.
b. BI giao CK tại J. Chứng minh rằng J là trực tâm tam giác AIK
c. AI và AK giao BC tại N, M. Chứng minh rằng MI, NK, AH đồng qui.
d. Gọi G là trực tâm tam giác AMN và D, E thứ tự là hình chiếu của G trên AB, AC. Chứng minh rằng A, D, I, G, K, E cùng cách đều một điểm O.
e. DE giao BC tại P. Chứng minh rằng P, O, H và trung điểm S của IK cùng nằm trên một đường tròn.
Gợi ý:
a. Tam giác HIA và HKC đồng dạng, tam giác HAC và HBA đồng dạng (g.g.) => HI/KH = HA/HC = AB/AC => tam giác ABC và HIK đồng dạng (c.g.c.)
b. Các tam giác BAM, CAN cân => các phân giác BI, CK là đường cao => IJ, KJ là các đường cao của tam giác AIK => J là trực tâm tam giác AIK.
c. Các tam giác CAK, CNK bằng nhau (c.g.c.) => gócCNK = CAK = CBI => NK//BI => NK vuông góc với AM. Tương tự MI vuông góc với AN => MI, NK, AH là các đường cao của tam giác AMN nên chúng đồng qui.
d. ADGE là hình chữ nhật nên giao O của các đường chéo AG, DE cách đều A, D, G, E. Lại có các tam giác AGK, AGI vuông tại I, K nên thêm I, K cách đều O.
e. Dễ thấy gócAED = AGD = ABC => gócOPH = AED – ACB = ABC – ACB
và gócOSH = OSI + HSI = 900 + 2.IKH = 900 + 2.ACB
=> gócOPH + OSH = ABC – ACB + 900 + 2. ACB = ABC + ACB + 900 = 900 + 900 = 1800 => OPHS nội tiếp => P, O, H và trung điểm S của IK cùng nằm trên một đường tròn.
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
