Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Thành phố Bắc Giang (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP BẮC GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2017-2018

MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x M x x x x x           

a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M

2. Cho ,x y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 x y x y      

Chứng minh 2 2 M x y xy    là bình phương của một số hữu tỷ. Bài 2. (4,0 điểm)

1. Tìm số dư trong phép chia      3 5 7 9 2033 x x x x      cho 2 12 30 x x  

2. Cho , , x y z thỏa mãn 2 2 2 7; 23; 3 x y z x y z xyz       

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 6 6 6 H xy z yz x zx y         

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 2 3 3 17 7 2 x xy x y    

2. Giải phương trình:     2 3 2 1 3 8 16 x x x     Bài 4. (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M   0 MB MA   và trên cạnh BC lấy N sao cho 0 90 . MON  Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE.

1) Chứng minh MON  vuông cân 2) Chứng minh MN song song với BE 3) Chứng minh CK vuông góc với BE 4) Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh:

1 KC KN CN KB KH BH   

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho , 0 x y  thỏa mãn 2 5. x y   Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 24 2 H x y x y    

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Bài 1.

1. a)

     

  

         

  

    

4 2 2

4 2 2 4 2 2 2

4 2

4 2 2 2 4 2

4 2 2 4 2 4 4 4 2

2 4 2 2 4 2

2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2

2 1 3 1 1 1 1 3

2 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

. 1

1 1 1 1 1

x x x M x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

            

          

                   

            

Vậy

2

4 2 1 x M x x   với mọi x

b) Ta có :

2

4 2 1 x M x x   với mọi x

- Nếu 0 x  ta có 0 M 

- Nếu 0 x , chia cả tử và mẫu của M cho 2x ta có:

2

2

1

1 1 M

x x



 

Ta có:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2. . 1 1 1 x x x x x x x x                   

Nên ta có:

2

2

1 1 1

1

M

x x

   

. Dấu " " xảy ra khi 1. x 

Vậy M lớn nhất là 1 M khi 1 x  2.

Ta có

        1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1

3 1 1 2 2 1 2 2 1 2

x y x y y x x y x y

xy y x xy x y xy x y xy x y

             

            

Ta có :  

2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 3 ... 2 2 xy xy M x y xy x y xy xy                        

DeThi.edu.vn

Vì ,x y nên 3 1 2 xy là số hữu tỷ , Vậy M là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 2.

1) Ta có:         2 2 3 5 7 9 2033 .... 12 27 12 35 2033 x x x x x x x x            

Đặt 2 12 30 , x x t    ta có:         3 5 7 9 2033 3 5 2033 x x x x t t            2 2 15 2033 2 2018 t t t t       

Vậy ta có         2 2 3 5 7 9 2033 12 30 12 32 2018 x x x x x x x x           

Vậy số dư trong phép chia      3 5 7 9 2033 x x x x      cho 2 12 30 x x   là 2018.

2) Vì    7 7 6 ... 1 1 1 x y z z x y xy z xy x y x y                

Tương tự ta có:       6 1 1 ; 6 1 1 yz x y z zx y z y          

Vậy              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z x y H x y y z z x x y z                

        

3 7 3 4 1 3 7 1 9 x y z xyz xy yz xz x y z xy yz xz xy yz xz                       Ta

có:       2 2 2 2 2 2 7 23 2 x y z x y z xy yz xz xy yz xz              13 xy yz xz    

Vậy 4 1 9 13 H   

Bài 3.

1) Ta có:

  2 2 2 3 3 17 7 2 3 2 3 7 17 3 2 3 7 17 x xy x y xy y x x x y x x               Vì x nguyên nên 2 3 0 x   nên ta có:

   

2 2 3 7 17 3 2 9 6 11 3 2 2 3 2 3 3 2 11 11 3 3 2 3 2

x x x x x y x x x x x x x

       …