Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT

(Gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán - Lớp 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi

Câu 1. (4 điểm)

Cho biểu thức :

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 2. (4 điểm) a) Chứng minh rằng f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1 b) Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. Câu 3. (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

b) Giải các phương trình sau:

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: .

Câu 5. (2 điểm) Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng :

.

------------------------------- HẾT --------------------------------

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ............

2 2

2 2 3 2 4 2 3 ( ) : ( ) 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x          

169 5 4 2 2    y xy x

18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA  

4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2 2 2

2

  

 

, , a b c 1 abc 

3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b      

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán - Lớp 8 Câu Nội dung Điểm a) ĐKXĐ :

Vậy với thì .

0.5đ

0.5đ

0.25đ

0.5đ

0.25đ

b) Với

Vậy với x > 3 thì A > 0.

0.5đ

0.5đ

1 (4,0đ)

c)

Với x = 11 thì A =

0.25đ

0.25đ

0.5đ

2

2

2 3

2 0

4 0 0 2 0 2 3 3 0

2 0

x

x x x x x x x

x x

                        

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 ) ( ) :( ) . 2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3) x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x                    

2 4 8 (2 ) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x      

2 4 ( 2) (2 ) 4 (2 )(2 )( 3) 3 x x x x x x x x x        

0, 2, 3 x x x   

2 4x

3 A x  

2 4 0, 3, 2: 0 0 3 x x x x A x        3 0 x    3( ) x TMDKXD  

7 4 7 4 7 4 x x x

        11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD

   

121

2

DeThi.edu.vn

2 (4,0đ)

a) Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x

+ 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia hết cho

x10 – 1

Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 +

x7 +...+ x + 1

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1

Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x+ x7 + ....+ x + 1

b) Đặt ta có và k N, 32 k < 100 Suy ra : 101 = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 101 hoặc k – 10 101 Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k =91

= 912 = 8281

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

a)

Do bị loại, xét ba khả năng:

loại Vậy phương trình có 4 nghiệm. (26;13), (29;12), (19;12), (22;5)

0.75đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

3 (4,0đ)

b) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; ĐKXĐ : Phương trình trở thành :

0.5đ

0.25đ

0.5đ

2 k abcd  1  cd ab  

cd

  

 

   

abcd

169 5 4 2 2    y xy x   2 2 2 2 2 2 5 12 0 13 169 2         y y x

0 0 , 2 2       y y Z y x

    13 ; 26 ; 13 ;0 2      y x y y x

      12 ; 19 .. .. 12 ; 29 ; 12 ;5 2 va y x y y x     

     5;2 .. .. 5; 22 ; 5 ; 12 2       va y x y y x

7 ;6 ;5 ;4         x x x x

18

1 ) 7 )( 6 (

1 ) 6 )( 5 (

1 ) 5 )( 4 (

1          x x x x x x

18

1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1             x x x x x x

DeThi.edu.vn