Ma trận và đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1

A. MA TRẬN ĐỀ

Vận dụng Cấp độ Chủ đề

Nhận biết

Thông

hiểu Cấp độ

thấp

Cấp độ

cao

Cộng

1. Số học.

- Vận dụng được các tính chất chia hết để chứng minh một tổng chia hết cho một số. - Áp dụng tính chất lũy thừa để chứng minh giá trị của biểu thức nhỏ hơn 1. Số câu Số điểm-Tỉ lệ %

2(C1ab)

4,0

2 4,0đ –20%

2. Đại số

Vận dụng được hằng đẳng thức để chứng minh một đẳng thức, so sánh hai số, phân tích đa thức thành nhân tử và tìm cực trị của tam thức bậc hai.

Vận dụng được hằng đẳng thức để chứng minh một biểu thức.

Số câu Số điểm-Tỉ lệ %

4(C2ab, C3ab)

8,0

1(C6)

1,0

5 9,0đ –45%

3. Hình học

- Hiểu được các dấu hiệu nhận biết về tứ giác để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, một tứ giác là hình thoi.

-Vận dụng được tính chât quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác để chứng minh. - Vận dụng đường kẻ phụ để chứng minh một đẳng thức

DeThi.edu.vn

2

Số câu Số điểm-Tỉ lệ %

2(C5ab)

3,0

2(C4,C5c)

4,0

4

7,0đ - 35%

Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ %

2

3,0 15%

6

12,0 60%

3

5,0 25%

11

20,0 100%

B. ĐỀ Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:

a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.

b) B = 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1. 2 3 4 100     

DeThi.edu.vn

3

Câu 2: (4,0 điểm )

a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc

b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232.

Câu 3: (4,0 điểm )

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.

Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn

nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Câu 5: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.

a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng

Câu 6: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng:

“HẾT”

C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:

a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.

b) B =

CÂU 1 ĐÁP ÁN ĐIỂM

1 DK DC 3 

2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e       

2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1. 2 3 4 100     

DeThi.edu.vn

4

a A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) = 40 + 34. 40 + 38. 40 = 40. (1 + 34 + 38) 40 Vậy A 40

0,5 0,5 0,5 0,5

b

Vậy B < 1

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232 CÂU 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a Ta có:

a + b + c = 0 suy ra a + b = - c

Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Suy ra (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c)

a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

b C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

(2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)

C = (28-1) (28+1)(216+1)

C = (216-1)(216+1)

C = 232-1

Vì 232 - 1 < 232 nên C < D.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

M M

2 2 2 2 1 1 1 1 B ... 2 3 4 100 1 1 1 1 ... 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 100

    

    

          

 

DeThi.edu.vn