Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường TH và THCS Sơn Lễ (Có đáp án)

TRƯỜNG TH&THCS SƠN LỄ

Đề thi chính thức

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI.

Câu 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức A =

a) Tìm ĐKXĐ; Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức:

M = là bình phương của một số hữu tỉ.

b) Giải phương trình

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho và . Chứng minh rằng: .

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M, N, I theo

thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.

b) Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.

Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:

2 3 3 3 4 1 1 1 x x x x x x x        

     2 4 6 8 16 x x x x     

1 ( 1) x x x   

1 x y z a b c    0 a b c x y z   

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

c a a b b c a c c b b a      2

2

2

2

2

2

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán 8

Câu Đáp án Điểm

1

a/ A = =

=

b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A = =

Vì

2,0

2,0

2

a/ Ta có: M =

Đặt a = x2 + 10x + 16

suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = (a+ 4)2

M = ( x2 + 10x + 20 )2 (đpcm)

b/

1,0

1,0

1,0

1,0

a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0

9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

Do:

Nên: (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x, y, z) = (1, 3, -1).

2,0

3

b/ Từ:

ayz + bxz + cxy = 0 Ta có:

2,0

2 3 3 3 4 1 1 1 x x x x x x x        

   

  

2

2 1 1 3 3 4

1 1

x x x x x x

x x x

      

  

  

     

2 3 2 2

2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x x x x x x

                 

2

2

1 1 x x x x    

2

2

1 3 2 4 1 3 2 4

x

x

               

2 2 1 3 1 3 0; 0, 1 0, 1 2 4 2 4 x x x A x                     

   2 2 10 16 10 24 16 x x x x     

1 ( 1) x x x   

 ( 1) 1 0 x x x      . 1 1 0 x x x      1 ( 1) 0 x x   



1 0 1 0 1 1 1 0 1

x x x x x x

                   





2 2 2 ( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0 x y z      



ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz     

 2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c      

DeThi.edu.vn

N

I

M

D C A

B

0,5

a/ Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân

1,0

1,0 4

b/ (2,0 điểm)Tính được AD = ; BD = 2AD =

AM = Tính được NI = AM =

1,0

0,5

DC = BC = , MN = 0,5

Tính được AI = 0,5

2,0

5

Áp dụng BĐT: x2 + y2 2xy, Dấu bằng xẩy ra khi x = y

; ;

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

2,0

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc       

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc       

2 2 2

2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c    

cm 3

3 4 cm 3

3 8

 BD 2 1 cm 3

3 4 cm 3

3 4

cm 3

3 8  DC 2 1 cm 3

3 4

cm 3

3 8



c a c b b a c b b a .2 . .2 2

2

2

2

   b c a c b a a c b a .2 . .2 2

2

2

2

   a b c b a c c b a c .2 . .2 2

2

2

2

  

) a b b c c a ( 2 ) a c c b b a ( 2 2

2

2

2

2

2

      a b b c c a a c c b b a

2

2

2

2

2

2

    

DeThi.edu.vn